Ταυτοτικός αστήρ

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9588
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ταυτοτικός αστήρ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Σεπ 22, 2016 8:35 pm

Ταυτοτικός  αστήρ.png
Ταυτοτικός αστήρ.png (14.58 KiB) Προβλήθηκε 774 φορές
Φέραμε τις διχοτόμους AC και BD του ορθογωνίου τριγώνου OAB , (OA>OB) . Οι ημιευθείες

AB και DC τέμνονται στο S . Δείξτε ότι το S είναι σημείο της διχοτόμου του 1ου τεταρτημορίου .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5619
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ταυτοτικός αστήρ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Σεπ 22, 2016 9:09 pm

KARKAR έγραψε:Ταυτοτικός αστήρ.pngΦέραμε τις διχοτόμους AC και BD του ορθογωνίου τριγώνου OAB , (OA>OB) . Οι ημιευθείες

AB και DC τέμνονται στο S . Δείξτε ότι το S είναι σημείο της διχοτόμου του 1ου τεταρτημορίου .
Καλησπέρα . Το είδαμε και στην "αξιόλογη καθετότητα"

Ας είναι OE η Τρίτη διχοτόμος του \vartriangle OAB.

Στο \vartriangle OAB με τέμνουσα την ευθεία \overline {DCS} και Θ. Μενελάου έχουμε:

\dfrac{{OD}}{{DA}} \cdot \dfrac{{AS}}{{SB}} \cdot \dfrac{{BC}}{{CO}} = 1\,\,\,\,\,\,\,(1) . Αλλά λόγω του Θ. εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο \vartriangle OAB , ισχύουν:

\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{OD}}{{DA}} = \frac{{OB}}{{AB}} \hfill \\ 
  \frac{{BC}}{{CO}} = \frac{{AB}}{{AO}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.\,\,\,\,(2) , οπότε η \,\,(1) γίνεται:

Ταυτοτικός αστήρ.png
Ταυτοτικός αστήρ.png (22.49 KiB) Προβλήθηκε 755 φορές
\boxed{\frac{{SA}}{{SB}} = \frac{{AO}}{{OB}} = \frac{{EA}}{{EB}}} δηλαδή τα σημεία A,B είναι αρμονικά συζυγή των E,S και άρα η OS είναι εξωτερική διχοτόμος στο τρίγωνο \vartriangle OAB .

Η πρόταση , νομίζω, επεκτείνεται σε τυχαίο τρίγωνο .

Φιλικά Νίκος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης