Υποθαλάσσιο Παραλληλόγραμμο!

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1213
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Υποθαλάσσιο Παραλληλόγραμμο!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Σεπ 25, 2016 9:30 pm

Στις πλευρές τριγώνου ABC κατασκευάζουμε 3 ισοσκελή όμοια τρίγωνα APB (AP=PB) , ACQ (AQ=QC) και BRC (BR=RC), όπως φαίνεται στο σχήμα. Να δείξετε ότι το APRQ είναι παραλληλόγραμμο.
paralilogramo.png
paralilogramo.png (18.85 KiB) Προβλήθηκε 850 φορές
Υ.Γ. Προτάθηκε από το Βέλγιο (Κάτω χώρες - από εκεί και ο τίτλος του θέματος :lol: ) στην 24η Δ.Μ.Ο.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 657
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Υποθαλάσσιο Παραλληλόγραμμο!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Κυρ Σεπ 25, 2016 10:42 pm

Από τα αρχικά όμοια ισοσκελή τρίγωνα ισχύει ότι: \dfrac{PB}{AB}=\dfrac{RB}{BC} και \widehat{PBR}=\widehat{ABC}. Άρα τα τρίγωνα PBR και ABC είναι όμοια, γιατί έχουν δυο πλευρές ανάλογες και την περιεχόμενη γωνία ίση. Με ανάλογο τρόπο προκύπτει ότι και τo τρίγωνο QRC είναι όμοιο με το ABC.

Έστω \widehat{PBR}=\widehat{CRQ}=z, \widehat{PRB}=\widehat{RCQ}=y και \widehat{BPA}=\widehat{BRC}=\widehat{AQC}=x. Τότε προκύπτει ότι \widehat{PRQ}=x+y+z, \widehat{APR}=\widehat{AQR}=180-x-y-z, άρα είναι το APRQ παραλληλόγραμμο.


Υ.Γ. Επειδή οι γωνίες δεν είναι ακριβώς ίδιες σε περίπτωση που το το R είναι εντός τριγώνου, δουλεύουμε με "παρόμοιο" τρόπο με τις γωνίες.


Houston, we have a problem!
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 501
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Υποθαλάσσιο Παραλληλόγραμμο!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Δευ Σεπ 26, 2016 3:10 am

Λίγο διαφορετικά απο τον Διονύση. Ισχύει PB/AB=AQ/AC. Απο τα όμοια PBR και ABC παίρνουμε PB/AB=PR/AC συνεπώς PR=AQ και όμοια AP=RQ και το ζητούμενο επεται.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες