- Εγγράψιμο.png (15.05 KiB) Προβλήθηκε 2665 φορές
Εγγράψιμο
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13231
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Εγγράψιμο
Δύο κύκλοι τέμνονται στα σημεία και οι εφαπτόμενές τους στο τέμνουν τον ένα κύκλο στο και τον άλλο στο . Αν είναι το συμμετρικό του ως προς , να δείξετε ότι το είναι εγγράψιμο.
Re: Εγγράψιμο
Αρχικά αναφέρουμε μία ιδιότητα της συμμετροδιαμέσου. Η συμμετροδιάμεσος ενός τριγώνου απο μία κορυφή είναι η ευθεία που διέρχεται απο την κορυφή και η οποία ειναι συμμετρική της διαμέσου ως προς την διχοτόμο απο την κορυφή . Ισχύει πως ένα σημείο βρίσκεται πάνω στην συμμετροδιάμεσο αν και μονο αν όπου είναι οι αποστάσεις του απο τις αντίστοιχα .
Έστω το σημείο τομής της με τον περιγεγραμμένο κύκλο του . Αρκεί να δείξουμε οτι είναι το μέσο της .
Εστω το σημείο τομής της με την .
Τα τρίγωνα είναι όμοια (απο γωνίες χορδής και εφαπτομένης). Άρα ο λόγος των ύψων είναι ίσος με τον λόγο των πλευρών. Συνεώπς η είναι η συμμετροδιάμεσος του απο την . Άρα ισχύει όπου οι αποστάσεις του απο τις .
Επιπλέον τα τρίγωνα είναι όμοια άρα όπου η απόσταση του απο την . Συνεπώς . Άρα η είναι συμμετροδιάμεσος του στην κορυφή . ΟΙ γωνίες είναι ίσες. Άρα η είναι διάμεσος. Άρα το είναι μέσον της το οποίο ολοκληρώνει την απόδειξη.
Έστω το σημείο τομής της με τον περιγεγραμμένο κύκλο του . Αρκεί να δείξουμε οτι είναι το μέσο της .
Εστω το σημείο τομής της με την .
Τα τρίγωνα είναι όμοια (απο γωνίες χορδής και εφαπτομένης). Άρα ο λόγος των ύψων είναι ίσος με τον λόγο των πλευρών. Συνεώπς η είναι η συμμετροδιάμεσος του απο την . Άρα ισχύει όπου οι αποστάσεις του απο τις .
Επιπλέον τα τρίγωνα είναι όμοια άρα όπου η απόσταση του απο την . Συνεπώς . Άρα η είναι συμμετροδιάμεσος του στην κορυφή . ΟΙ γωνίες είναι ίσες. Άρα η είναι διάμεσος. Άρα το είναι μέσον της το οποίο ολοκληρώνει την απόδειξη.
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3530
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: Εγγράψιμο
Καλημέρα! Οι «πορτοκαλί» κι οι «πράσινες» γωνίες είναι ίσες από χορδή και εφαπτομένη, οπότεgeorge visvikis έγραψε: Δύο κύκλοι τέμνονται στα σημεία και οι εφαπτόμενές τους στο τέμνουν τον ένα κύκλο στο και τον άλλο στο . Αν είναι το συμμετρικό του ως προς , να δείξετε ότι το είναι εγγράψιμο.
Από το λόγο ομοιότητας παίρνουμε και αφού οι περιεχόμενες γωνίες είναι ίσες με συμπεραίνουμε πως
Στο , άρα το είναι εγγράψιμο.
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Re: Εγγράψιμο
Καλημέρα στους φίλους.george visvikis έγραψε:Εγγράψιμο.png
Δύο κύκλοι τέμνονται στα σημεία και οι εφαπτόμενές τους στο τέμνουν τον ένα κύκλο στο και τον άλλο στο . Αν είναι το συμμετρικό του ως προς , να δείξετε ότι το είναι εγγράψιμο.
Αν τα μέσα των αρκεί να δείξουμε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
Επειδή τα τρίγωνα είναι όμοια ( Αξιοποιούμε το υπό χορδής κι εφαπτομένης)
και τα ομόλογα τρίγωνα είναι όμοια , οπότε και άρα πράγματι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
Φιλικά Νίκος
Re: Εγγράψιμο
Πολύ ωραίες οι λύσεις όλων!!!
Τρεις λύσεις για το θέμα αυτό μπορεί να βρει κανείς και στο βιβλίο Μαθηματικοί Διαγωνισμοί ΙΙ στη σελίδα 3.11.
Από αυτές η αγαπημένη μου είναι με αντιστροφή κέντρου Α και ακτίνας που τελειώνει το πρόβλημα σε δύο γραμμές.
Τρεις λύσεις για το θέμα αυτό μπορεί να βρει κανείς και στο βιβλίο Μαθηματικοί Διαγωνισμοί ΙΙ στη σελίδα 3.11.
Από αυτές η αγαπημένη μου είναι με αντιστροφή κέντρου Α και ακτίνας που τελειώνει το πρόβλημα σε δύο γραμμές.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες