Εγγράψιμο

#1

: Εγγράψιμο.png (15.05 KiB) Προβλήθηκε 2702 φορές

Δύο κύκλοι τέμνονται στα σημεία A, B

και οι εφαπτόμενές τους στο

τέμνουν τον ένα κύκλο στο

και τον άλλο στο

. Αν

είναι το συμμετρικό του

ως προς

, να δείξετε ότι το ACED

είναι εγγράψιμο.

taratoris · #2

Αρχικά αναφέρουμε μία ιδιότητα της συμμετροδιαμέσου. Η συμμετροδιάμεσος ενός τριγώνου ABC

απο μία κορυφή

είναι η ευθεία που διέρχεται απο την κορυφή

και η οποία ειναι συμμετρική της διαμέσου

ως προς την διχοτόμο απο την κορυφή

. Ισχύει πως ένα σημείο

βρίσκεται πάνω στην συμμετροδιάμεσο αν και μονο αν SJ/SI=b/c

όπου

είναι οι αποστάσεις του

απο τις

αντίστοιχα .

Έστω

το σημείο τομής της

με τον περιγεγραμμένο κύκλο του ADC

. Αρκεί να δείξουμε οτι

είναι το μέσο της

.

Εστω

το σημείο τομής της

με την

.

Τα τρίγωνα ADB,ABC

είναι όμοια (απο γωνίες χορδής και εφαπτομένης). Άρα ο λόγος των ύψων είναι ίσος με τον λόγο των πλευρών. Συνεώπς η

είναι η συμμετροδιάμεσος του ADC

απο την

. Άρα ισχύει KJ/AD=KI/AC

όπου

οι αποστάσεις του

απο τις

.

Επιπλέον τα τρίγωνα ADK,CKE

είναι όμοια άρα KJ/AD=KS/CE

όπου

η απόσταση του

απο την

. Συνεπώς

. Άρα η

είναι συμμετροδιάμεσος του ACE

στην κορυφή

. ΟΙ γωνίες DCE,ACB

είναι ίσες. Άρα η

είναι διάμεσος. Άρα το

είναι μέσον της

το οποίο ολοκληρώνει την απόδειξη.

Ιστοσελίδα · #3

george visvikis έγραψε: Δύο κύκλοι τέμνονται στα σημεία και οι εφαπτόμενές τους στο τέμνουν τον ένα κύκλο στο και τον άλλο στο . Αν είναι το συμμετρικό του ως προς , να δείξετε ότι το είναι εγγράψιμο.

Καλημέρα!

: Εγγράψιμο.png (34.98 KiB) Προβλήθηκε 2628 φορές

Οι «πορτοκαλί» κι οι «πράσινες» γωνίες είναι ίσες από χορδή και εφαπτομένη, οπότε $\triangleleft ADB \sim \triangleright CAB$

Από το λόγο ομοιότητας παίρνουμε $\dfrac{{DB}}{{AB}} = \dfrac{{AB}}{{CB}}\mathop \Rightarrow \limits^{AB = BE} \dfrac{{DB}}{{BE}} = \dfrac{{BE}}{{CB}}$ και αφού οι περιεχόμενες γωνίες είναι ίσες με $\theta$ συμπεραίνουμε πως $\triangleleft DBE \sim \triangleright EBC$

Στο $\triangleleft DBE:x + y + \theta = {180^ \circ }\mathop \Leftrightarrow \limits^{\theta = \varphi + \omega } (x + y ) + (\varphi + \omega ) = {180^ \circ }$ , άρα το ACED

είναι εγγράψιμο.

#4

george visvikis έγραψε:Εγγράψιμο.png
Δύο κύκλοι τέμνονται στα σημεία και οι εφαπτόμενές τους στο τέμνουν τον ένα κύκλο στο και τον άλλο στο . Αν είναι το συμμετρικό του ως προς , να δείξετε ότι το είναι εγγράψιμο.

Καλημέρα στους φίλους.

Αν

τα μέσα των AC,AD

αρκεί να δείξουμε ότι το τετράπλευρο ANBM

είναι εγγράψιμο.

: Εγγράψιμο Bisbikis.png (22.12 KiB) Προβλήθηκε 2584 φορές

Επειδή τα τρίγωνα $ABD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CBA$ είναι όμοια ( Αξιοποιούμε το υπό χορδής κι εφαπτομένης)

και τα ομόλογα τρίγωνα $ANB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CMB$ είναι όμοια , οπότε $\omega = \theta$ και άρα πράγματι το τετράπλευρο ANBM

είναι εγγράψιμο.

Φιλικά Νίκος

#5

Πολύ ωραίες οι λύσεις όλων!!!

Τρεις λύσεις για το θέμα αυτό μπορεί να βρει κανείς και στο βιβλίο Μαθηματικοί Διαγωνισμοί ΙΙ στη σελίδα 3.11.
Από αυτές η αγαπημένη μου είναι με αντιστροφή κέντρου Α και ακτίνας $AB\cdot AE$ που τελειώνει το πρόβλημα σε δύο γραμμές.

Εγγράψιμο

Εγγράψιμο

Re: Εγγράψιμο

Re: Εγγράψιμο

Re: Εγγράψιμο

Re: Εγγράψιμο

Μέλη σε σύνδεση