Εγγράψιμο

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6543
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Εγγράψιμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Σεπ 27, 2016 11:27 pm

Εγγράψιμο.png
Εγγράψιμο.png (15.05 KiB) Προβλήθηκε 1030 φορές
Δύο κύκλοι τέμνονται στα σημεία A, B και οι εφαπτόμενές τους στο A τέμνουν τον ένα κύκλο στο D και τον άλλο στο C. Αν E είναι το συμμετρικό του A ως προς B, να δείξετε ότι το ACED είναι εγγράψιμο.


Άβαταρ μέλους
taratoris
Δημοσιεύσεις: 49
Εγγραφή: Παρ Ιουν 12, 2009 7:11 pm

Re: Εγγράψιμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από taratoris » Τετ Σεπ 28, 2016 2:16 am

Αρχικά αναφέρουμε μία ιδιότητα της συμμετροδιαμέσου. Η συμμετροδιάμεσος ενός τριγώνου ABC απο μία κορυφή A είναι η ευθεία που διέρχεται απο την κορυφή A και η οποία ειναι συμμετρική της διαμέσου AM ως προς την διχοτόμο απο την κορυφή A. Ισχύει πως ένα σημείο S βρίσκεται πάνω στην συμμετροδιάμεσο αν και μονο αν SJ/SI=b/c όπου SJ,SI είναι οι αποστάσεις του S απο τις b,c αντίστοιχα .

Έστω E το σημείο τομής της AB με τον περιγεγραμμένο κύκλο του ADC . Αρκεί να δείξουμε οτι B είναι το μέσο της AE.

Εστω K το σημείο τομής της AE με την DC .

Τα τρίγωνα ADB,ABC είναι όμοια (απο γωνίες χορδής και εφαπτομένης). Άρα ο λόγος των ύψων είναι ίσος με τον λόγο των πλευρών. Συνεώπς η AB είναι η συμμετροδιάμεσος του ADC απο την A . Άρα ισχύει KJ/AD=KI/AC όπου KJ,KI οι αποστάσεις του K απο τις AD,AC .

Επιπλέον τα τρίγωνα ADK,CKE είναι όμοια άρα KJ/AD=KS/CE όπου KS η απόσταση του K απο την CE . Συνεπώς KJ/AD=KS/CE. Άρα η CK είναι συμμετροδιάμεσος του ACE στην κορυφή C. ΟΙ γωνίες DCE,ACB είναι ίσες. Άρα η CB είναι διάμεσος. Άρα το B είναι μέσον της AE το οποίο ολοκληρώνει την απόδειξη.


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3074
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Εγγράψιμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τετ Σεπ 28, 2016 7:53 am

george visvikis έγραψε: Δύο κύκλοι τέμνονται στα σημεία A, B και οι εφαπτόμενές τους στο A τέμνουν τον ένα κύκλο στο D και τον άλλο στο C. Αν E είναι το συμμετρικό του A ως προς B, να δείξετε ότι το ACED είναι εγγράψιμο.
Καλημέρα!
Εγγράψιμο.png
Εγγράψιμο.png (34.98 KiB) Προβλήθηκε 956 φορές
Οι «πορτοκαλί» κι οι «πράσινες» γωνίες είναι ίσες από χορδή και εφαπτομένη, οπότε \triangleleft ADB \sim  \triangleright CAB

Από το λόγο ομοιότητας παίρνουμε \dfrac{{DB}}{{AB}} = \dfrac{{AB}}{{CB}}\mathop  \Rightarrow \limits^{AB = BE} \dfrac{{DB}}{{BE}} = \dfrac{{BE}}{{CB}} και αφού οι περιεχόμενες γωνίες είναι ίσες με \theta συμπεραίνουμε πως \triangleleft DBE \sim  \triangleright EBC

Στο \triangleleft DBE:x + y + \theta  = {180^ \circ }\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\theta  = \varphi  + \omega } (x + y ) + (\varphi + \omega ) = {180^ \circ }, άρα το ACED είναι εγγράψιμο.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5618
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εγγράψιμο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Σεπ 28, 2016 12:36 pm

george visvikis έγραψε:Εγγράψιμο.png
Δύο κύκλοι τέμνονται στα σημεία A, B και οι εφαπτόμενές τους στο A τέμνουν τον ένα κύκλο στο D και τον άλλο στο C. Αν E είναι το συμμετρικό του A ως προς B, να δείξετε ότι το ACED είναι εγγράψιμο.
Καλημέρα στους φίλους.

Αν M,N τα μέσα των AC,AD αρκεί να δείξουμε ότι το τετράπλευρο ANBM είναι εγγράψιμο.
Εγγράψιμο Bisbikis.png
Εγγράψιμο Bisbikis.png (22.12 KiB) Προβλήθηκε 912 φορές
Επειδή τα τρίγωνα ABD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CBA είναι όμοια ( Αξιοποιούμε το υπό χορδής κι εφαπτομένης)

και τα ομόλογα τρίγωνα ANB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CMB είναι όμοια , οπότε \omega  = \theta και άρα πράγματι το τετράπλευρο ANBM είναι εγγράψιμο.

Φιλικά Νίκος


silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1170
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Εγγράψιμο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Τετ Σεπ 28, 2016 9:37 pm

Πολύ ωραίες οι λύσεις όλων!!! :first:
Τρεις λύσεις για το θέμα αυτό μπορεί να βρει κανείς και στο βιβλίο Μαθηματικοί Διαγωνισμοί ΙΙ στη σελίδα 3.11.
Από αυτές η αγαπημένη μου είναι με αντιστροφή κέντρου Α και ακτίνας AB\cdot AE που τελειώνει το πρόβλημα σε δύο γραμμές.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης