Θέματα Γεωμετρίας (Junior)

[Γιώργος Ρίζος]

Σε συνέχεια του προηγούμενου θέματος,

viewtopic.php?f=49&t=737

ας δώσουμε όσες πιο πολλές διαφορετικές λύσεις σε τρεις ακόμα όμορφες ασκήσεις, από την ομιλία της Ελένης Μήτσιου.

8) Έστω α και β τα μέτρα των βάσεων ενός ισοσκελούς τραπεζίου και δ το μέτρο κάθε διαγωνίου του. Αν ισχύει (α + β)² – 2δ(α + β + 1) + 2δ² + 1 = 0, να βρείτε το εμβαδόν του.

9) Δίνεται κυρτό πεντάγωνο ΑΒΓΔΕ τέτοιο ώστε:ΑΒ = ΑΕ = ΓΔ = 1 και ΒΓ + ΔΕ = 1.
Οι γωνίες Β και Ε είναι ορθές. Να βρείτε το εμβαδόν του.

10) Έστω ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και ΒΜ διάμεσός του. Η κάθετη από το Α στη ΒΜ τέμνει την ΒΓ στο Α΄ . Να υπολογίσετε το λόγο ΒΑ΄/ΓΑ΄.

Γιώργος Ρίζος

[Φωτεινή]

ΑΣΚΗΣΗ 8
8) Έστω α και β τα μέτρα των βάσεων ενός ισοσκελούς τραπεζίου και δ το μέτρο κάθε διαγωνίου του. Αν ισχύει (α + β)² – 2δ(α + β + 1) + 2δ² + 1 = 0, να βρείτε το εμβαδόν του.

χωρίς σχήμα
έστω


άρα



αν το ύψος του τραπεζίου τότε
και

[Γιώργος Ρίζος]

Καλα με το ...ποντίκι "παρά πόδας" στέκεστε;
Είπα, ας γράψω κάποιες λύσεις κι ας φτιάξω τα σχήματα να είναι έτοιμα και εν τω μεταξύ να η πρώτη λύση!

Φωτεινή, άλλαξα τα α, β και δίνω το σχήμα να ταιριάζει με τη λύση σου.

Mhtsiou 8.png (3.53 KiB) Προβλήθηκε 3699 φορές

Η ισότητα (α + β)² – 2δ(α + β + 1) + 2δ² + 1 = 0
γράφεται: 2δ² – 2δ(α + β + 1) + (α + β)² + 1 = 0.
Έχει διακρίνουσα Δ = ... = -4(α + β - 1)².

Για να υπάρχουν τιμές του δ που να επαληθεύουν την (1), πρέπει Δ ≥0 άρα α + β = 1.
Τότε, η (1) γράφεται: 2δ² - 4δ + 2 = 0 ή 2(δ - 1)² = 0 άρα δ = 1.

Στο ισοσκελές ΑΒΓΔ φέρνουμε ΓΚ κάθετη ΑΒ, ΔΛ κάθετη ΑΒ.



Στο ΑΓΚ

Άρα

Γιώργος Ρίζος


Η (9) έχει ένα κάρο πράξεις (τουλάχιστον με τη δική μου προσέγγιση). Για να δούμε ποιος έμαθε καλά το LaTex...

[Φωτεινή]

ΑΣΚΗΣΗ 9
9) Δίνεται κυρτό πεντάγωνο ΑΒΓΔΕ τέτοιο ώστε:ΑΒ = ΑΕ = ΓΔ = 1 και ΒΓ + ΔΕ = 1.
Οι γωνίες Β και Ε είναι ορθές. Να βρείτε το εμβαδόν του.

βρήκα εμβαδό Ε=1 (πολλές πράξεις !!!)
έφερα ΑΔ,ΑΓ
έστω ΕΔ=χ,ΒΓ=y με χ+y=1
(ΑΒΓΔΕ)=(ΑΔΕ)+(ΑΒΓ)+(ΑΔΓ)=+(ΑΔΓ)
οι πολλές πράξεις... για το (ΑΔΓ) που το βρήκα =

Γιώργο πόσο το βρήκες;

[Γιώργος Ρίζος]

Με τύπο Ήρωνα, βρίσκω (ΑΓΔ) = 1/8, (ΑΒΓΔΕ) = x/2 + y/2 + 1/8 = 5/8

Θα το ξαναδώ (αύριο...).

Γ.Ρ.

[fmak65]

Απαντηση στην ασκηση 9.
αν ΒΓ =χ τοτε ΕΔ = 1-χ. χωριζουμε το πενταγωνο σε τριγωνα ΑΒΓ, ΑΓΔ , ΑΔΕ. Οποτε τα εμβαδα (ΑΒΓ) και (ΑΔΕ) ειναι (1*χ)/2 και (1*(1-χ))/2 που αν προστεθουν δινουν 1/2. Στο τριγωνο ΑΓΔ μπορώ να βρω τις πλευρες ΑΓ & ΑΔ απο πυθαγοριο θεωρημα και απο τον τυπο του Ηρωνα βρισκω (ΑΓΔ) = 1/4. Οποτε το συνολικο εμβαδον ειναι 3/4.
Rigio σου στελνω χαιρετισματα . ειμαι ο παλιος συμφοιτητης σου Φωτης που βρεθηκαμε προπερσι στην Κοζανη. Δες ξανα τις πραξεις μηπως εγινε καποιο λαθος.

[fmak65]

Τελικα δικιο εχει η Φωτεινη το εμβαδον ειναι 1. Ξεχασα να βγαλω την ριζα στον τυπο του Ηρωνα.

[Φωτεινή]

ΑΣΚΗΣΗ 10
10) Έστω ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και ΒΜ διάμεσός του. Η κάθετη από το Α στη ΒΜ τέμνει την ΒΓ στο Α΄ .
Να υπολογίσετε το λόγο ΒΑ΄/ΓΑ΄.

10.PNG (16.07 KiB) Προβλήθηκε 3510 φορές

[gbaloglou]

ΑΣΚΗΣΗ 9
9) Δίνεται κυρτό πεντάγωνο ΑΒΓΔΕ τέτοιο ώστε:ΑΒ = ΑΕ = ΓΔ = 1 και ΒΓ + ΔΕ = 1.
Οι γωνίες Β και Ε είναι ορθές. Να βρείτε το εμβαδόν του.

βρήκα εμβαδό Ε=1 (πολλές πράξεις !!!)
έφερα ΑΔ,ΑΓ
έστω ΕΔ=χ,ΒΓ=y με χ+y=1
(ΑΒΓΔΕ)=(ΑΔΕ)+(ΑΒΓ)+(ΑΔΓ)=+(ΑΔΓ)
οι πολλές πράξεις... για το (ΑΔΓ) που το βρήκα =

Γιώργο πόσο το βρήκες;

Μια και ... ακουσα το ονομα μου (αλλα και ειδα την απαντηση για το ΑΔΓ*) παρεμβαινω ως εξης:

Ας φερουμε την καθετο απο το Α στην ΓΔ, με ιχνος Ζ, και ας παρατηρησουμε οτι το ΑΖ οφειλει να εχει μηκος 1: αν |ΑΖ| < 1 τοτε |ΓΖ| > |ΒΓ| (διοτι τα ορθογωνια τριγωνα ΒΑΓ και ΖΑΓ εχουν κοινη υποτεινουσα ΑΓ και ανισες πλευρες |ΑΒ| > |ΑΖ|) και |ΔΖ| > |ΔΕ| (αναλογος συλλογισμος για τα ορθογωνια τριγωνα ΕΑΔ και ΖΑΔ), επομενως 1 = |ΓΔ| = |ΓΖ| + |ΔΖ| > |ΒΓ| + |ΔΕ| = 1, ατοπο^ με αναλογο συλλογισμο αποκλειουμε την περιπτωση |ΑΖ| > 1.

Μετα απο αυτην την καιρια παρατηρηση ... επερχεται πληρης απομυθοποιηση του μυστηριωδους πενταγωνου*: επειδη |ΑΖ| = |ΑΒ| =1 και |ΑΖ| = |ΑΕ| = 1, τα ορθογωνια τριγωνα ΒΑΓ και ΖΑΓ καταληγουν να ειναι ισα μεταξυ τους (και συμμετρικα ως προς ΑΓ), ομοιως και τα ΕΑΔ και ΖΑΔ (συμμετρικα ως προς ΑΔ). Ο υπολογισμος του εμβαδου απο εδω και περα ειναι τετριμμενος, και χωρις καθολου σχεδον πραξεις βρισκουμε οτι |ΑΒΓΔΕ| = 1.

*το οτι |ΑΔΓ| = 1/2 μου ανοιξε τα ματια και μου εδειξε πως το καιριο βημα ειναι ο υπολογισμος της αποστασης της ΓΔ απο το Α^ πριν απ' αυτο προσπαθουσα να 'χαρακτηρισω' αυτα τα πενταγωνα *η*, πολυ περισσοτερο, να βρω καποιο περασμα απο την ακραια περιπτωση χ = 0 (τετραγωνο εμβαδου 1, α = 90) στην γενικη περιπτωση (α αμβλεια γωνια αλλα με καποιο οριο (120) που δεν γνωριζα). (Η τελικη μου προσεγγιση οχι μονο χαρακτηριζει τετοιου ειδους πενταγωνα αλλα μας δειχνει και απο που προερχονται (αν ΑΖ ειναι το υψος τριγωνου ΑΓΔ τοτε Β και Ε ειναι τα συμμετρικα του Ζ ως προς τις ΑΓ και ΑΔ).)

Γεια χαρα,

Γιωργος

[p_gianno]

Μια ακόμη λύση για την 10

exercise 10.png (17.17 KiB) Προβλήθηκε 3475 φορές

Π.Γ

[Φωτεινή]

*το οτι |ΑΔΓ| = 1/2 μου ανοιξε τα ματια και μου εδειξε πως το καιριο βημα ειναι ο υπολογισμος της αποστασης της ΓΔ απο το Α^
Γιωργος

αυτό είναι !!!!! κάτι να σου δείξει ...
αλλά δεν έχουμε όλοι τα ίδια μάτια και εμένα δεν μου έδειξε τίποτα

[lonis]

Δεν σας πρόλαβα, φίλοι μου! Τουλάχιστον γλίτωσα την κατασκευή του σχήματος, που δημιουργεί άσχημο συνδυασμό με το συνάχι.

Ήθελα να πω ότι στον κύκλο (Α,1) το ΒΓ είναι εφαπτόμενο τμήμα: Τα σημεία Β, Γ βρίσκονται στις εφαπτομένες του κύκλου στα Ε και Δ αντίστοιχα, αφού οι γωνίες Ε και Δ είναι ορθές. Αν Κ το ίχνος της κάθετης από το Α στην ΒΓ, είναι ΑΚ=1. Πράγματι, αν ΑΚ>1, τότε ΒΕ>ΒΚ, ΓΔ>ΓΚ και με πρόσθεση 1>1! Όμοια, αν ΑΚ<1, συμπεραίνουμε ότι 1<1 (που, όμως, συμφωνεί με το 1>1 ). Το εμβαδόν προκύπτει, εύκολα πλέον, 1.

Καλό απόγευμα
Λεωνίδας

[p_gianno]

Μια λύση για την 9

exercise 9.png (16.6 KiB) Προβλήθηκε 3453 φορές

Π.Γ

[lonis]

Πολύ όμορφη λύση Παναγιώτη!

Τελικά πάντα υπάρχει χώρος στη γεωμετρία για ουσιωδώς διαφορετικές ματιές. Και, φυσικά, γοητεύουν περισσότερο οι λύσεις με τα λιγότερα λιπαρά- ελπίζω να μη προσβάλλω άθελά μου κανέναν, ούτε εμένα τον ίδιο!

Λεωνίδας

[Γιώργος Ρίζος]

Μετά τις ευφυέστατες λύσεις των Γιώργου Μπαλόγλου, Λεωνίδα και Παναγιώτη, περισσεύει κάθε πρόθεση λύσης με λιπαρά, (που λέει κι ο Λεωνίδας...).
Πάει χαμένη μισή (και βάλε) ώρα σε MathType και LaTex. (Όποιος το θέλει να το στείλω συνημμένο...)

Rigio σου στελνω χαιρετισματα . ειμαι ο παλιος συμφοιτητης σου Φωτης που βρεθηκαμε προπερσι στην Κοζανη. Δες ξανα τις πραξεις μηπως εγινε καποιο λαθος.

Φώτη, γεια χαρά! Μάντεψε το λάθος: Το 1/16 όταν βγαίνει από τη ρίζα δεν οφείλει να γίνει 1/4 ; Έλα ντε...

Γιώργο, το σχήμα (στο Corel) φώναζε ότι το ύψος ΑΖ στη ΔΓ πρέπει να είναι 1. Προσπαθούσα με ευθύ τρόπο να το αποδείξω, αλλά...

Δίνω σε συννημένο αρχείο Sketchpad ένα μοντέλο για την άσκηση, κατασκευασμένο σε διαστάσεις 5 : 1.
Οι κατασκευές έγιναν με περιφέρειες, τις οποίες έχω αποκρύψει: (Ctrl+H) για όποιον θέλει να τις αποκαλύψει.
Δείτε ότι ταιριάζουν απόλυτα. Αν μετακινήσετε το Δ ή το Η, χάνονται οι αναλογίες.

Γιώργος Ρίζος

[gbaloglou]

*το οτι |ΑΔΓ| = 1/2 μου ανοιξε τα ματια και μου εδειξε πως το καιριο βημα ειναι ο υπολογισμος της αποστασης της ΓΔ απο το Α^
Γιωργος

αυτό είναι !!!!! κάτι να σου δείξει ...
αλλά δεν έχουμε όλοι τα ίδια μάτια και εμένα δεν μου έδειξε τίποτα

Φωτεινη:

Ουτε και τα δικα μου ματια ηταν ορθανοιχτα: το οτι το εμβαδον του ΑΔΓ ειναι 1/2 θα επρεπε να το γνωριζα χωρις να δω την δικη σου αναρτηση -- ηδη γνωριζα, μεσω της ακραιας περιπτωσης |ΒΓ| = 0 (τετραγωνο) οτι το εμβαδον ειναι 1, και θα επρεπε να ειχα προσεξει, οπως αλλωστε και εσυ, και χωρις πολλες πραξεις, οτι το αθροισμα των εμβαδων των ΒΑΓ και ΕΑΔ ειναι 1/2!

Γιωργος