Ισότητα σε τρίγωνο

ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #1

Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα :
$(\frac{\alpha }{\upsilon _{\alpha }}+\frac{\upsilon _{\alpha }}{\alpha }-2\eta \mu A)+(\frac{\beta }{\upsilon _{\beta }}+\frac{\upsilon _{\beta }}{\beta }-2\eta \mu B)+(\frac{\gamma }{\upsilon _{\gamma }}+\frac{\upsilon _{\gamma }}{\gamma }-2\eta \mu \Gamma )=\frac{\sqrt{3}}{2}$
να δείξετε ότι ΑΒΓ ισόπλευρο .

ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #2

Καλημέρα σε όλα τα μέλη του

Μια λύση της άσκησης που είχα προτείνει στις 13 Αυγούστου :
$2\eta \mu A+2\eta \mu B+2\eta \mu \Gamma =\frac{\alpha +\beta+ \gamma }{R}=\frac{2\tau }{R}$ οπότε η σχέση της υπόθεσης , γράφεται :
$\frac{\alpha }{\upsilon _{\alpha }}+\frac{\beta }{\upsilon _{\beta }}+\frac{\gamma }{\upsilon _{\gamma }}+\frac{\upsilon _{\alpha }}{\alpha }+\frac{\upsilon _{\beta }}{\beta }+\frac{\upsilon _{\gamma }}{\gamma }=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2\tau }{R}(1)$ .
Ισχύει ότι :
$\frac{\alpha }{\upsilon _{\alpha }}+\frac{\beta }{\upsilon \beta }+\frac{\gamma }{\upsilon_{\gamma } }=\frac{\alpha ^{2}}{\alpha \upsilon _{\alpha }}+\frac{\beta ^{2}}{\beta \upsilon _{\beta }}+\frac{\gamma ^{2}}{\gamma \upsilon _{\gamma }}\geq (Andreescu)\geq \frac{\left(\alpha +\beta +\gamma \right)^{2}}{6E}=\frac{2\tau ^{2}}{3E}$ (2)
Αλλά $\tau ^{2}\geq 3\sqrt{3}E$ (3)
Από (2) , (3) προκύπτει ότι :
$\frac{\alpha }{\upsilon _{\alpha }}+\frac{\beta }{\upsilon ^{\beta }}+\frac{\gamma }{\upsilon _{\gamma }}\geq 2\sqrt{3} (4)$
από (1) και (4) προκύπτει ότι :
$\frac{\upsilon _{\alpha }}{\alpha }+\frac{\upsilon _{\beta }}{\beta }+\frac{\upsilon _{\gamma }}{\gamma }\leq \frac{2\tau }{R}-\frac{3\sqrt{3}}{2}(5)$
Αλλά $\frac{\upsilon _{\alpha }}{\alpha }+\frac{\upsilon _{\beta }}{\beta }+\frac{\upsilon _{\gamma }}{\gamma }=\frac{\upsilon _{\alpha }^{2}}{2E}+\frac{\upsilon _{\beta }^{2}}{2E}+\frac{\upsilon _{\gamma }^{2}}{2E}\geq ...Andreescu...\geq \frac{\left(\upsilon _{\alpha }+\upsilon _{\beta }+\upsilon _{\gamma } \right)^{2}}{6E}=\frac{\left(\frac{2E}{\alpha }+\frac{2E}{\beta }+\frac{2E}{\gamma } \right)^{2}}{6E}=\frac{2E}{3}\left(\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }+\frac{1}{\gamma } \right)^{2}\geq \frac{2E}{3}\bullet 3\left(\frac{1}{\alpha \beta }+\frac{1}{\beta \gamma }+\frac{1}{\gamma \alpha } \right)=\frac{\tau }{R}(6)$
Από τις (5) , (6) προκύπτει ότι :
$\frac{2\tau }{R}-\frac{3\sqrt{3}}{2}\geq \frac{\tau }{R}$ οπότε :
$\frac{\tau }{R} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}(7)$
είναι όμως γνωστή η ανισότητα :
$\frac{\tau }{R}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}(8)$
από (7) , (8) προκύπτει ότι $\frac{\tau }{R}= \frac{3\sqrt{3}}{2}$
αντικαθιστώντας αυτήν , στην αρχική σχέση με τα ημίτονα προκύπτει ότι :
ημΑ + ημΒ + ημΓ = $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ η οποία είναι ισοδύναμη με την Α = Β = Γ = 60°.//

Ισότητα σε τρίγωνο

Ισότητα σε τρίγωνο

Re: Ισότητα σε τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση