Ισόπλευρο τρίγωνο

#1

Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με πλευρές $\alpha, \beta$ ,και $\gamma$ είναι ισόπλευρο αν και μόνο άν $\displaystyle\frac{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}{\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha}$ είναι φυσικός αριθμός.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Είναι γνωστό ότι, αν a,b,c

πλευρές τριγώνου, τότε ισχύει

$\displaystyle{ab+bc+ca\leq a^2 +b^2 +c^2 <2(ab+bc+ca),}$

δηλαδή

$\displaystyle{1 \leq \frac{a^2 +b^2 +c^2}{ab+bc+ca}<2.}$

Άρα, αν το δοθέν κλάσμα είναι φυσικός, πρέπει να ισούται με 1

δηλαδή $\displaystyle{a=b=c}$ και το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Το αντίστροφο είναι προφανές.

#3

matha έγραψε:.....
$\displaystyle{1 \leq \frac{a^2 +b^2 +c^2}{ab+bc+ca}<2.}$
....

Ας μου επιτραπεί μια παρατήρηση:

Η αριστερή ανισότητα είναι περιττή. Αρκεί να παρατηρήσουμε ότι

$\displaystyle{0 < \frac{a^2 +b^2 +c^2}{ab+bc+ca}<2.}$

Η αριστερή ανισότητα είναι τώρα προφανής, ενώ η δεξιά ανισότητα (που αναφέρει κι ο Θάνος) αποδεικνύεται εύκολα υψώνοντας στο τετράγωνο τις

|b-a|<c

,

και

,

έπειτα προσθέτοντας κατά μέλη, κ.ο.κ.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ισόπλευρο τρίγωνο

Ισόπλευρο τρίγωνο

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση