Φυσικοί αριθμοί και Συνδυαστική

[Μπάμπης Στεργίου]

Αν πάρουμε 53 φυσικούς αριθμούς, διαφορετικούς μεταξύ τους ανά δύο , με άθροισμα όχι μεγαλύτερο από 2009 , τότε ανάμεσά τους υπάρχουν δύο με άθροισμα 53.

Μπάμπης

[achilleas]

Αν πάρουμε 53 φυσικούς αριθμούς, διαφορετικούς μεταξύ τους ανά δύο , με άθροισμα όχι μεγαλύτερο από 2009 , τότε ανάμεσά τους υπάρχουν δύο με άθροισμα 53.

Μπάμπης

Τα ζευγάρια των φυσικών που δίνουν άθροισμα 53 είναι: (1,52), (2,51), ..., (26,27).

Για να ισχύει το ζητούμενο αρκεί να δείξουμε ότι ανάμεσα στους 53 αριθμούς υπάρχουν τουλάχιστον 27 οι οποίοι είναι μικρότεροι ή ίσοι του 52.

Πράγματι, αν υπάρχουν το πολύ 26 τέτοιοι αριθμοί, τότε το άθροισμα των στοιχείων του συνόλου είναι σίγουρα μεγαλύτερο ή ίσο  από

,

άτοπο.

Φιλικά,

Αχιλλέας