Βρείτε τη γωνία χ (47)

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Βρείτε τη γωνία χ (47)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τετ Σεπ 29, 2010 10:49 pm

Έστω Δ εσωτερικό σημείο τριγώνου ΑΒΓ τέτοιο ώστε: ΔΓ=ΑΒ, \Delta \widehat {\rm A}{\rm B} = {60^ \circ } - \varphi ,\,\,\Delta \widehat {\rm A}\Gamma  = 2\varphi ,\,\,\Delta \widehat \Gamma {\rm A} = \varphi. Βρείτε τη γωνία x.
x47.jpg
x47.jpg (68.37 KiB) Προβλήθηκε 622 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Βρείτε τη γωνία χ (47)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Τετ Σεπ 29, 2010 11:15 pm

\bullet \displaystyle{\triangle:ADC->\frac{AD}{\sin f}=\frac{DC}{\sin 2f},(1)}

\bullet \displaystyle{\triangle:ADB->\frac{AD}{\sin x}=\frac{AB}{\sin (60+x-f)},(2)}

\bullet (1),(2)=>\displaystyle{\frac{\sin 2f}{\sin f}=\frac{\sin(60+x-f)}{\sin x}=>2\cos f=\cos(60-f)+\sin(60-f)\sigma\phi x=>}

\displaystyle{\sigma\phi x=\frac{2\cos f-\cos(60-f)}{\sin(60-f)}=\frac{3 \cos f-\sqrt{3}\sin f}{\sqrt{3} \cos f-\sin f}=>\sigma\phi x=\sqrt 3=>x=30^o}


Φωτεινή Καλδή
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11106
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Βρείτε τη γωνία χ (47)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Σεπ 29, 2010 11:21 pm

... ακόμη (αν και δεν το ζητά η άσκηση) φ = 30.


Άβαταρ μέλους
Δημήτρης Μυρογιάννης
Δημοσιεύσεις: 862
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 22, 2009 11:30 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τη γωνία χ (47)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Δημήτρης Μυρογιάννης » Τετ Σεπ 29, 2010 11:46 pm

Capture.PNG
Capture.PNG (179.85 KiB) Προβλήθηκε 558 φορές


\top\Cape h e \;\; \AA \mathbb{R}\top\;\; o\pounds \; \; \int  \imath m\mathbb{P}\l \imath \mathbb{C}\imath \top y \;\;\imath s\;\;a\;\;\mathbb{P}\Cup \mathbb{Z}\mathbb{Z}le \;\; o\pounds \;\; \mathbb{C} o m\mathbb{P}l e^{x}  \imath T y
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11106
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Βρείτε τη γωνία χ (47)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Σεπ 30, 2010 11:08 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:... ακόμη (αν και δεν το ζητά η άσκηση) φ = 30.
Χμμμμ! Η σωστή απάντηση δεν είναι 30. Το 30 είναι μία από τις επιτρεπτές τιμές ενώ
η πλήρης απάντηση είναι αρκετά απρόσμενη:

Περιέργως ΟΛΕΣ οι τιμές του φ από 0 έως 45 (χωρίς τα άκρα) είναι λύσεις!

Μ.


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τη γωνία χ (47)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Πέμ Σεπ 30, 2010 5:25 pm

Σας ευχαριστώ πολύ για τις απαντήσεις σας. Ακόμα μια Γεωμετρική αντιμετώπιση.

Με κέντρο Δ και ακτίνα ΔΑ κατασκευάζω κύκλο, ο οποίος τέμνει την ΑΓ στο Ε. Από το ισοσκελές τρίγωνο ΔΑΕ ισχύει \Delta \widehat {\rm E}{\rm A} = 2\varphi και εφόσον είναι εξωτερική γωνία του τριγώνου ΕΔΓ θα έχουμε {\rm E}\widehat \Delta \Gamma  = \varphi, επομένως το τρίγωνο ΕΔΓ είναι ισοσκελές (ΕΓ=ΕΔ=ΔΑ). Μεταφέρω το τρίγωνο ΕΔΓ έτσι ώστε η πλευρά ΔΓ να συμπέσει με την ίση της ΒΑ (τρίγωνο ΖΒΑ). Το τρίγωνο ΑΖΔ έχει ΑΖ=ΑΔ και {\rm Z}\widehat {\rm A}\Delta  = \varphi  + {60^ \circ } - \varphi  = {60^ \circ }, οπότε είναι ισόπλευρο. Το τρίγωνο ΖΒΔ είναι ισοσκελές, άρα {\rm Z}\widehat \Delta {\rm B} = \varphi  + x και έστω Κ το σημείο τομής του τμήματος ΔΖ με το ΑΒ. Από εξωτερική γωνία του τριγώνου ΑΚΔ θα ισχύει {\rm B}\widehat {\rm K}\Delta  = {60^ \circ } + {60^ \circ } - \varphi  = {120^ \circ } - \varphi, επομένως στο τρίγωνο ΚΒΔ θα έχουμε: x + {120^ \circ } - \varphi  + \varphi  + x = {180^ \circ } \Rightarrow x = {30^ \circ }.
x47-sol.jpg
x47-sol.jpg (54.5 KiB) Προβλήθηκε 451 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης