Παιγνίδι με τη διαιρετότητα !

[Μπάμπης Στεργίου]

Στον πίνακα είναι γραμμένα σε μια σειρά τα ψηφία : αλλά όχι υποχρεωτικά με αυτή τη σειρά και χωρίς κόμμα ανάμεσά τους, ώστε να σχηματίζεται ένας μεγάλος αριθμός. Ένας μαθητής διαλέγει δυο συνεχόμενα ψηφία και ανάμεσά τους βάζει το σημείο '' δια '' της διαίρεσης.Μπορεί το αποτέλεσμα αυτής της διαίρεσης που προκύπτει να είναι ο ακέραιος αριθμός ;

Μπάμπης

[Kostas_94]

Δεν μπορεί!
Αν οι δυο αριθμοί, τότε ή , δηλαδή ή το διαιρεί το άθροισμα των 16 ψηφίων, που εύκολα βλέπουμε οτι δεν ισχύει.

[Παύλος Μαραγκουδάκης]

Ας συμβολίσουμε με το άθροισμα των ψηφίων του φυσικού αριθμού .

Τότε οι διαιρούμενοι με το 3 αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο.

Ας υποθέσουμε ότι με τα δοσμένα ψηφία μπορούμε να φτιάξουμε δύο ακέραιους ώστε

Τότε δηλαδή ο είναι πολλαπλάσιο του 3.

Το άθροισμα και το άθροισμα διαιρούμενα με το 3 αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο.

Άρα ο είναι πολλαπλάσιο του 3.

Όμως ο είναι το άθροισμα των δοσμένων ψηφίων που είναι , δηλαδή δεν είναι πολλαπλάσιο του . Άτοπο.

Υ.Γ. Η ίδια ακριβώς ιδέα. Αφήνω τη λύση για όσους δεν είναι εξοικειωμένοι με τις ισοτιμίες.

[Kostas_94]

Κατόπιν παράκλησης του κ. Μπάμπη Στεργίου, θα ήθελα να παρουσιάσω τη λύση μου λίγο πιο αναλυτικά, για να γίνει κατανοητή από όλους.
Έχουμε λοιπόν, . Τώρα θα εξετάσουμε ποια είναι τα δυνατά υπόλοιπα των . Αυτά γενικά μπορεί να είναι (0,1),(0,2),(1,0),(2,0),(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(0,0).
Αν το 1 από τα ας πούμε το διαιρείται από το 3, τότε υποχρεωτικά διαιρείται και το άλλο, έτσι τα πρώτα 4 δυνατά ζεύγη απορρίπτονται.
Αν (1,1) τα υπόλοιπα, τότε το αφήνει υπόλοιπο 2, οπότε δεν μπορεί να ισούται με το μηδέν. Κάτι αντίστοιχο ισχύει και για το (2,2)
Oi μόνες δυνατές περιπτώσεις είναι λοιπόν οι 3 τελευταίες. Όμως και στις τρεις αυτές παρατηρούμε οτι το αφήνει υπόλοιπο 0. Οπότε το ίδιο υπόλοιπο (=0) αφήνει και το άθροισμα των ψηφίων του , που είναι ίσο με το άθροισμα όλων των 16 ψηφίων που δίνονται στον πίνακα. Το άθροισμα όμως αυτό δεν αφήνει υπόλοιπο 0.
Ελπίζω τώρα να είναι πιο καλά.