Σύστημα!

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6207
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Σύστημα!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Μάιος 05, 2015 12:20 am

Να λυθεί στους πραγματικούς το σύστημα

\displaystyle{\begin{cases}x^2=y^3-3y^2+2y, \\ y^2=x^3-3x^2+2x.\end{cases}}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6855
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Σύστημα!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Μάιος 05, 2015 1:07 am

Καλησπέρα Θάνο.
Έχω:

\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{{x^2} + y - 1 = {{\left( {y - 1} \right)}^3}}\\ 
{{y^2} + x - 1 = {{\left( {x - 1} \right)}^3}} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{{x^2} = {{\left( {y - 1} \right)}^3} - \left( {y - 1} \right)}\\ 
{{y^2} = {{\left( {x - 1} \right)}^3} - \left( {x - 1} \right)} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{{x^2} = y\left( {y - 1} \right)\left( {y - 2} \right)}\\ 
{{y^2} = x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)} 
\end{array} \Rightarrow } \right.} \displaystyle{{x^2} + x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = {y^2} + y\left( {y - 1} \right)\left( {y - 2} \right) \Leftrightarrow ...{x^3} - 2{x^2} + 2x = {y^3} - 2{y^2} + 2y}

Τώρα είναι απλό να δείξουμε πως η συνάρτηση \displaystyle{f(x) = {x^3} - 2{x^2} + 2x} είναι γνησίως αύξουσα τους πραγματικούς (παράγωγος \displaystyle{f'(x) = 3{x^2} - 4x + 2 > 0} για κάθε πραγματικό αριθμό).
Επομένως η τελευταία ισότητα συνεπάγεται ότι: x=y.

Αντικαθιστώντας σε μία αρχική ισότητα έχω τελικά: \displaystyle{{y^3} - 4{y^2} + 2y = 0 \Leftrightarrow y\left( {{y^2} - 4y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow y = 0 \vee y = 2 + \sqrt 2  \vee y = 2 - \sqrt 2 }

Τότε λύσεις είναι τα ζεύγη:

\displaystyle{\left( {x,y} \right) = \left( {0,0} \right),\left( {x,y} \right)\left( {2 + \sqrt 2 ,2 + \sqrt 2 } \right),\left( {x,y} \right) = \left( {2 - \sqrt 2 ,2 - \sqrt 2 } \right)}

Η επαλήθευση έγινε στο χαρτί και είναι θετική για όλα τα ζεύγη.
Ελπίζω να μην έχασα. Καληνύχτα και καλό ξημέρωμα.


Χρήστος Κυριαζής
Θεοδωρος Παγωνης
Δημοσιεύσεις: 311
Εγγραφή: Τετ Οκτ 26, 2011 2:10 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Σύστημα!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Θεοδωρος Παγωνης » Τρί Μάιος 05, 2015 1:44 am

Λίγο διαφορετικό ξεκίνημα από αυτό του Χρήστου.

Αφαιρώντας κατά μέλη τις δυο ισότητες έχουμε ότι


{{x}^{2}}-{{y}^{2}}={{y}^{3}}-3{{y}^{2}}+2y-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2x\Leftrightarrow

{{y}^{3}}-{{x}^{3}}-2{{y}^{2}}+2{{x}^{2}}+2y-2x=0\Leftrightarrow

\left( y-x \right)\left( {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}} \right)-2\left( y-x \right)\left( y+x \right)+2\left( y-x \right)=0\Leftrightarrow

\left( y-x \right)\left( {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}-2y-2x+2 \right)=0\Leftrightarrow

x=y(1) ή {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}-2y-2x+2=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\left( y-2 \right)x+\left( {{y}^{2}}-2y+2 \right)=0(2)

Θεωρώντας την δεύτερη εξίσωση ως δευτεροβάθμια με άγνωστο το x έχουμε

\Delta ={{\left( y-2 \right)}^{2}}-4\left( {{y}^{2}}-2y+2 \right)=-3{{y}^{2}}+4y-4<0 , για κάθε y\in \mathbb{R} . Οπότε η εξίσωση (2) είναι αδύνατη .

Για x=y , τώρα συνεχίζουμε όμοια με τον Χρήστο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες