Άρρητοι

[Mihalis_Lambrou]

Στο παλιό mathematica είχαμε μερικές ασκήσεις για άρρητους. Βάζω άλλη μία. Είναι μεν εύκολη, αλλά πιστεύω ότι είναι ωραία άσκηση για μαθητές γιατί χρειάζεται να είναι κανείς πολύ σαφής στην διατύπωσή του. Η άσκηση είναι διαφορετική από τα αυτά που συνήθως συναντούν οι μαθητές γιατί η λύση είναι «υπαρξιακή» και όχι «αλγοριθμική».

Λοιπόν,

Δείξτε ότι αν

το δεκαδικό ανάπτυγμα ενός αριθμού, τότε υπάρχει αναδιάταξη των
, έστω ,
έτσι ώστε ο αριθμός να είναι ρητός.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

[nsmavrogiannis]

Μιχάλη πρόκειται για ωραιότατη άσκηση. Φαντάζομαι ότι δεν έχεις αντίρρηση να την αναδιατυπώσω γιατί ο όρος "αναδιάταξη" θέλει πολλές επεξηγήσεις:

'Εστω το δεκαδικό ανάπτυγμα ενός αριθμού. Μπορείτε να προτείνετε κάποιον τρόπο ώστε αλλάζοντας την σειρά των ψηφίων του να προκύψει ρητός άριθμός;

Για όσους μπουν στον κοπο να το διδάξουν (εγώ θα το αξιοποιήσω στην πρώτη ευκαιρία) θα ήταν ενδιαφέρον να το ταιριάξουν με το γνωστό για το ξενοδοχείο του HIlbert ( βάζω αυτή την παραπομπή γιατί δεν έχω καμμία άλλη πρόσφορη: http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's_ ... rand_Hotel )
Μαυρογιάννης

[Mihalis_Lambrou]

Νίκο,

πολύ ωραία η αναδιατύπωσή σου.

Ο συσχετισμός σου της άσκησης με το "Ξενοδοχείο Hilbert"
είναι διδακτικότατος.

Καληνύχτα.

Μιχάλης.

[kostas.zig]

Περισσότερες πληροφορίες για το ξενοδοχείο μπορούν οι αγαπητοί αναγνώστες , να διαβάσουν στο βιβλίο "Αναζητώντας το άπειρο" του N.Ya.Vilenkin
Η προσέγγιση που γίνεται είναι πραγματικά θαυμάσια!!

[k-ser]

'Εστω το δεκαδικό ανάπτυγμα ενός αριθμού. Μπορείτε να προτείνετε κάποιον τρόπο ώστε αλλάζοντας την σειρά των ψηφίων του να προκύψει ρητός άριθμός;

Μιχάλη, Νίκο,
θα μπορούσε η παρακάτω* να είναι μια λύση;

Ρωτώ, γιατί μπλέκω με το απροσδιόριστο του απείρου κι εκεί... έχω από τη φύση του μυαλού μου μια άπειρη δυσκολία!

*Τα ψηφία παίρνουν τιμές από το σύνολο Α={0,1,2,3,…9}.
Είναι προφανές ότι αυτά, στο ανάπτυγμα του αριθμού, επαναλαμβάνονται είτε άπειρες φορές είτε περιορισμένο αριθμό φορών.
Στις πρώτες θέσεις του αναπτύγματος του αριθμού τοποθετούμε τα ψηφία, εφόσον υπάρχουν, που επαναλαμβάνονται περιορισμένο αριθμό φορών.
Αν με τα ψηφία που επαναλαμβάνονται άπειρες φορές τότε τα τοποθετούμε με την εξής σειρά:
Ο αριθμός που προκύπτει είναι περιοδικός με περίοδο και συνεπώς ρητός.

[Mihalis_Lambrou]

'Εστω το δεκαδικό ανάπτυγμα ενός αριθμού. Μπορείτε να προτείνετε κάποιον τρόπο ώστε αλλάζοντας την σειρά των ψηφίων του να προκύψει ρητός άριθμός;

Μιχάλη, Νίκο,
θα μπορούσε η παρακάτω* να είναι μια λύση;

Ρωτώ, γιατί μπλέκω με το απροσδιόριστο του απείρου κι εκεί... έχω από τη φύση του μυαλού μου μια άπειρη δυσκολία!

*Τα ψηφία παίρνουν τιμές από το σύνολο Α={0,1,2,3,…9}.
Είναι προφανές ότι αυτά, στο ανάπτυγμα του αριθμού, επαναλαμβάνονται είτε άπειρες φορές είτε περιορισμένο αριθμό φορών.
Στις πρώτες θέσεις του αναπτύγματος του αριθμού τοποθετούμε τα ψηφία, εφόσον υπάρχουν, που επαναλαμβάνονται περιορισμένο αριθμό φορών.
Αν με τα ψηφία που επαναλαμβάνονται άπειρες φορές τότε τα τοποθετούμε με την εξής σειρά:
Ο αριθμός που προκύπτει είναι περιοδικός με περίοδο και συνεπώς ρητός.

Απόλυτα σωστή η λύση.

Τώρα είναι σαφές γιατί ο Νίκος μίλησε για το "ξενοδοχείο Hilbert".

Συγκεκριμμένα, ας πούμε ότι στον αρχικό αριθμό εμφανίζεται, παραδείγματος χάριν, το 233 άπειρες φορές. Τότε το 3 εμφανίζεται άπειρες φορές, αλλά "δύο φορές πιό συχνά" από το 2. Όμως στον δεύτερο αριθμό τα 2 και 3 εμφανίζονται "ίσες φορές".

Αυτά είναι τα τερτίπια του απείρου. Ας είναι καλά ο Cantor που τα ξεκαθάρισε, αν και το συγκεκριμένο θέμα (για φαινομενικά "διπλάσιο άπειρο" από άλλο άπειρο) το είχε απαντήσει ο Γαλιλαίος. Έλεγε ότι "οι άρτιοι φυσικοί αριθμοί είναι όσοι όλοι οι φυσικοί αριθμοί" διότι μπορούμε να τους ζευγαρώσουμε ν <---> 2ν. Μακρινός πρόδρομος του Cantor ο Γαλιλαίος σε αυτό το θέμα.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

[Mihalis_Lambrou]

Είναι εύκολο να βρούμε παραδείγματα άρρητων α και β έτσι ώστε α + β = ρητός ή, αντίστοιχα, αβ = ρητός. Ένα γνωστό από παλιά σχετικό πρόβλημα, ζητά να βρεθούν άρρητοι α και β έτσι ώστε = ρητός.

Υπάρχουν πολλές γνωστές και διαφορετικές επιλύσεις του τελευταίου. Παρακαλώ συνάδελφοι και φίλοι στείλτε στη Λέσχη την δική σας αντιμετώπιση, για να δούμε μέχρι που μπορεί να φτάσει η ανθρώπινη φαντασία.

Γράφω μία λύση επειδή είναι «πλακατζίδικη» και μάλλον όχι τόσο γνωστή.

Εξετάζουμε τον αριθμό



Αν είναι ρητός, τελειώσαμε. Αν είναι άρρητος τότε εξετάζουμε τον



Είναι της μορφής «άρρητος σε άρρητη δύναμη» και φυσικά ισχύει

= ρητός.

Με άλλα λόγια, είτε ο πρώτος αριθμός είτε ο δεύτερος, δεν ξέρουμε ποιος, απαντά στο αρχικό ερώτημα.

Σχόλια

1) Την παραπάνω μέθοδο την άκουσα στα φοιτητικά μου χρόνια, στο εξωτερικό. Αργότερα έμαθα ότι είχε κυκλοφορήσει ευρέως στους μαθηματικούς κύκλους κατά τα τέλη της δεκαετίας του ’50 ενώ ακόμα αργότερα την είδα γραμμένη στην εναρκτήρια ομιλία του Walter Hayman όταν ο ίδιος έγινε ακαδημαϊκός (ακριβέστερα, Fellow της Royal Society της Βρετανίας) σε ηλικία 30 ετών!
Από τον Hayman άκουσα στο Πανεπιστήμιο το μάθημα της Μιγαδικής Ανάλυσης. Αν ζει, θα είναι σήμερα 82 ετών. Ξέρω πάντως ότι όταν ήταν 80 ζούσε ακόμη παράγοντας, όπως σε όλη την καριέρα, καλής ποιότητας Μαθηματικά.

2) Ένα βαθύ θεώρημα του Gelfond και, ανεξάρτητα, του Schneider, το οποίο απαντά στο 7o Hilbert λέει ότι αν α, β αλγεβρικοί αριθμοί με α μη μηδενικό και β άρρητο, τότε ο αριθμός είναι υπερβατικός. Ειδικά, ο παραπάνω αριθμός είναι υπερβατικός (όχι απλά άρρητος). Άλλωστε ο ονομάζεται «σταθερά Gelfond-Schneider». Βλέπε

http://en.wikipedia.org/wiki/Gelfond%27s_theorem

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

[cretanman]

Παρακαλώ συνάδελφοι και φίλοι στείλτε στη Λέσχη την δική σας αντιμετώπιση, για να δούμε μέχρι που μπορεί να φτάσει η ανθρώπινη φαντασία.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

Κύριε Λάμπρου,

Κι εγώ αυτό το παράδειγμα έχω στο μυαλό μου διότι όπως είπατε κι εσείς έχει πλάκα ανεξάρτητα από το αν κάποιος γνωρίζει ή όχι το θεώρημα Gelfond.

Εάν για παράδειγμα πάρουμε και , όπου ρητός με , , το δεν είναι τέλειο τετράγωνο και (δεν είναι η minimal συνθήκη αυτή, αλλά είναι ένα παράδειγμα) τότε ενώ οι αριθμοί είναι άρρητοι, εντούτοις ο αριθμός (o οποίος ισούται με ), είναι ρητός.

Για παράδειγμα ο αριθμός είναι ρητός (και ίσος φυσικά με 3).

Τώρα που το σκέφτομαι αυτός είναι και ένας καλός τρόπος να δείξουμε ότι οι αριθμοί της μορφής δεν είναι αλγεβρικοί (λόγω του θεωρήματος Gelfond)! Πολύ ενδιαφέρον...

Αλέξανδρος

[sybe]

Τώρα που το σκέφτομαι αυτός είναι και ένας καλός τρόπος να δείξουμε ότι οι αριθμοί της μορφής δεν είναι αλγεβρικοί (λόγω του θεωρήματος Gelfond)! Πολύ ενδιαφέρον...

Αλέξανδρος

Γεια σας. Συγχαρητήρια και πάλι για το site. Πολύ καλή δουλειά.
Μήπως μπορείς να μου εξηγήσεις λίγο το συλλόγισμό σου... Δεν μπορώ αυτήν την στιγμή να το καταλάβω...
Ευχαριστώ.

[cretanman]

Μήπως μπορείς να μου εξηγήσεις λίγο το συλλόγισμό σου... Δεν μπορώ αυτήν την στιγμή να το καταλάβω...
Ευχαριστώ.

Ευχαριστούμε πολύ για τη σελίδα! Επιστροφή στην ερώτηση.

Εάν το ήταν αλγεβρικός τότε σύμφωνα με το θεώρημα του Gelfond, επειδή οι είναι αλγεβρικοί ο μη μηδενικός και ο άρρητος, o θα ήταν υπερβατικός, άτοπο διότι είναι ρητός.

Αλέξανδρος

[sybe]

Ευχαριστώ. Αν το διάβαζα από την αρχή πιο προσεχτικά θα καταλάβαινα...

[parmenides51]

'Εστω το δεκαδικό ανάπτυγμα ενός αριθμού. Μπορείτε να προτείνετε κάποιον τρόπο ώστε αλλάζοντας την σειρά των ψηφίων του να προκύψει ρητός άριθμός;

Μιχάλη, Νίκο,
θα μπορούσε η παρακάτω* να είναι μια λύση;

Ρωτώ, γιατί μπλέκω με το απροσδιόριστο του απείρου κι εκεί... έχω από τη φύση του μυαλού μου μια άπειρη δυσκολία!

*Τα ψηφία παίρνουν τιμές από το σύνολο Α={0,1,2,3,…9}.
Είναι προφανές ότι αυτά, στο ανάπτυγμα του αριθμού, επαναλαμβάνονται είτε άπειρες φορές είτε περιορισμένο αριθμό φορών.
Στις πρώτες θέσεις του αναπτύγματος του αριθμού τοποθετούμε τα ψηφία, εφόσον υπάρχουν, που επαναλαμβάνονται περιορισμένο αριθμό φορών.
Αν με τα ψηφία που επαναλαμβάνονται άπειρες φορές τότε τα τοποθετούμε με την εξής σειρά:
Ο αριθμός που προκύπτει είναι περιοδικός με περίοδο και συνεπώς ρητός.

Ερώτηση που αφορά το σημείο που κοκκίνισα.
Υπάρχουν άρρητοι στην δεκαδική αναπαράσταση των οποίων κάποιο ψηφίο επαναλαμβάνεται πεπερασμένο πλήθος φορών ;
Έχουμε κάποιο συγκεκριμένο παράδειγμα;
Ή απλά το υποθέτουμε ότι δηλαδή δεν αποκλείεται να υπάρχουν;

[Mihalis_Lambrou]

Υπάρχουν άρρητοι στην δεκαδική αναπαράσταση των οποίων κάποιο ψηφίο επαναλαμβάνεται πεπερασμένο πλήθος φορών ;
Έχουμε κάποιο συγκεκριμένο παράδειγμα;
Ή απλά το υποθέτουμε ότι δηλαδή δεν αποκλείεται να υπάρχουν;

Υπάρχουν όσα θέλεις. Πάρε π.χ. έναν άρρητο της μορφής

(ένα μηδενικό παραπάνω τη φορά).

Το 5 εμφανίζεται μόνο μία φορά.

Μπορείς να φτιάξεις άπειρα παρόμοια παραδείγματα αρρήτων.

Φιλικά,

Μιχάλης

[parmenides51]

ευχαριστώ, απλό είναι τελικά.