Συναρτησιακή εξίσωση

#1

α) Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R$ τέτοιες ώστε f(x+xy)=f(x)(2y+1)+f(xy),

για κάθε $x,y \in \mathbb R.$

β) Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb R ^+\rightarrow \mathbb R$ τέτοιες ώστε f(x+xy)=f(x)(2y+1)+f(xy),

για κάθε $x,y \in \mathbb R ^+.$

raf616 · #2

socrates έγραψε:α) Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R$ τέτοιες ώστε για κάθε $x,y \in \mathbb R.$

Για την πρώτη:

Έστω P(x, y)

η δοθείσα ιδιότητα.

$P(x, 0) : f(x) = f(x) + f(0) \iff f(0) = 0$

$P(x, -1) : f(0) = -f(x) + f(-x) \iff f(x) = f(-x), \forall x \in \Bbb{R}$

$\displaystyle{P(-1, x) : f(-1 - x) = f(-1)(2x + 1) + f(-x) \iff f(x + 1) - f(x) = c(2x + 1)}$ όπου c = f(-1) = f(1)

Για $x \neq 0$ έχουμε:

$\displaystyle{P\left(x, \dfrac{1}{x}\right): f(x + 1) = f(x)\left(\dfrac{x+2}{x}\right) + f(1) \iff x(f(x + 1) - f(x))=2f(x) + cx \iff cx(2x + 1) = 2f(x) + cx \iff f(x) = cx^2,$

$\forall x \in \Bbb{R^{*}}}$

Όμως $f(0) = 0 = c \cdot 0^2$ και άρα $f(x) = cx^2, \forall x \in \Bbb{R}$ που επαληθεύει τη συναρτησιακή της εκφώνησης.

#3

#4

socrates έγραψε:β) Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb R ^+\rightarrow \mathbb R$ τέτοιες ώστε για κάθε $x,y \in \mathbb R ^+.$

Επαναφορά! Δεν είναι δύσκολο...

nikoszan · #5

socrates έγραψε:
socrates έγραψε:β) Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb R ^+\rightarrow \mathbb R$ τέτοιες ώστε για κάθε $x,y \in \mathbb R ^+.$

$\displaystyle{\begin{array}{l} \bullet f(x + xy) = f(x)(2y + 1) + f(xy):(1)\\ \bullet (1)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( {x = 1} \right)} f(y + 1) = f(1)(2y + 1) + f(y)\,:\left( 2 \right)\\ \bullet (1)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( {y = \frac{1}{x}} \right)} f(x + x\frac{1}{x}) = f(x)(2\frac{1}{x} + 1) + f(x\frac{1}{x}) \Rightarrow \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow f(x + 1) = f(x)(2\frac{1}{x} + 1) + f(1):\left( 3 \right)\\ \left( 2 \right) \wedge \left( 3 \right) \Rightarrow f(x)(2\frac{1}{x} + 1) + f(1) = f(1)(2x + 1) + f(x) \Rightarrow \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow 2\frac{1}{x}f(x) = 2xf(1) \Rightarrow f\left( x \right) = f(1){x^2} \end{array}}$
(ικανοποιεί την υπόθεση)
Άρα $\displaystyle{f\left( x \right) = f(1){x^2},x > 0}$ .
Ν.Ζ.

#6

mathematica.gr

Συναρτησιακή εξίσωση

Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση