Ανισότητα από GM

#1

Αν $\displaystyle x,y,z >0$ , να αποδειχθεί ότι :

$\displaystyle \frac {x}{y^2+yz+z^2} + \frac {y}{z^2+zx+x^2} +\frac {z}{x^2+xy+y^2} \geq \frac {3}{x+y+z}$

Μπάμπης

(Δεν έχω λύση στην άσκηση αυτή για την ώρα)

lefteris mastoris · #2

Καλησπερα!Εχω μια ιδεα νομιζω....Λοιπον απο Adreescu:
$LHS \geq \frac{(x+y+z)^2}{xy^2+xyz+xz^2+yx^2+yxz+yz^2+zx^2+zxy+zy^2} = \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)(xy+yz+zx)}$ που προφανως ειναι μεγαλυτερο απο το RHS αφου ισοδυναμα γραφετε $x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx$ που ισχυει..Ελπιζω να μην εκανα καμια απροσεξια....

Λευτερης

Dreamkiller · #3

Εξιλέωση για την προηγούμενη αποτυχημένη προσπάθεια:
Από την ανισότητα Cauchy-Schwarz:
$\displaystyle \sum\frac{x}{y^2+yz+z^2} \geq \frac{(x+y+z)^2}{\sum_{sym}xy^2 + 3xyz}$
Οπότε αρκεί: $\displaystyle (x+y+z)^3 \geq 3\sum_{sym}xy^2 + 9xyz \Rightarrow x^3 + y^3 + z^3 \geq 3xyz$ , που είναι η ανισότητα Αριθμητικού-Γεωμετρικού Μέσου.

Με πρόλαβε ο Λευτέρης.
Παρεμπιπτόντως, GM είναι το Gazeta Matematica;

#4

Ναι ! Το GM είναι το gazata matemetica .
Είναι ένα εξαιρετικό περιοδικό που δυστυχώς φτάνει στην Ελλάδα πολύ ακριβό !

Μπάμπης

mathematica.gr

Ανισότητα από GM

Ανισότητα από GM

Re: Ανισότητα από GM

Re: Ανισότητα από GM

Re: Ανισότητα από GM

Μέλη σε σύνδεση