Εύκολη διαιρετότητα

#1

Έστω

πρώτος και x, y, z

διαφορετικοί ανά δύο φυσικοί αριθμοί, μικρότεροι του

Υποθέτουμε ότι οι αριθμοί x^3, y^3

και

διαιρούμενοι με τον

αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο.
Να δείξετε ότι ο αριθμός x^2 + y^2 + z^2

διαιρείται με τον x + y + z.

ΛΕΩΝΙΔΑΣ · #2

Μετά από λίγη βοήθεια από τον socrates βάζω την λύση μου:

Από την υπόθεση έχουμε ότι $p\mid x^3-y^3 \Leftrightarrow p\mid (x-y)(x^2+xy+y^2) \Leftrightarrow p\mid x^2+xy+y^2$ αφού x-y<p

Όμοια $p\mid y^2+yz+z^2$ και $p\mid z^2+zx+x^2$

Απ'αυτές βρίσκουμε ότι

$\bullet$ $p\mid (x^2+xy+y^2)-(y^2+yz+z^2)=(x-y)(x+y+z) \Leftrightarrow p\mid x+y+z \Leftrightarrow p\mid x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx(1)$
$\bullet$ $p\mid 2(x^2+y^2+z^2)+xy+yz+zx (2)$

Επειδή $x,y,z\leq p-1$ είναι $x+y+z\leq p-1+p-2+p-3<3p$ άρα x+y+z=p

ή

Αν

αρκεί $p\mid x^2+y^2+z^2$ που προκύπτει εύκολα από (1) και (2).

Αν x+y+z=2p

τότε $2\mid x+y+z \Leftrightarrow 2\mid x^2+y^2+z^2$ και αφού (2,p)=1

έχουμε το ζητούμενο.

#3

Εύκολη διαιρετότητα

Εύκολη διαιρετότητα

Re: Εύκολη διαιρετότητα

Re: Εύκολη διαιρετότητα

Μέλη σε σύνδεση