ρητοί με γινόμενο 20!

parmenides51 · #1

Πόσοι ρητοί αριθμοί μεταξύ του $\displaystyle{0}$ και του $\displaystyle{1}$ έχουν γινόμενο αριθμητή και παρανομαστή ίσο με $\displaystyle{20!}$ ;
(ο αριθμητής και ο παρανομαστής δεν πρέπει να έχουν κοινούς παράγοντες)

edit
πρόσθεσα τα κόκκινα γράμματα

gauss1988 · #2

Αφού όλοι οι ρητοί είναι θετικοί και μικρότεροι από την μονάδα, μπορούν να έχουν γινόμενο κάποιον αριθμό μεγαλύτερο από την μονάδα;

parmenides51 · #3

έχεις δίκιο, κάτι ξέχασα

Pla.pa.s · #4

Διορθωμένη λύση μετά από παρατήρηση του θεματοδότη, τον οποίο ευχαριστώ:

Το γινόμενο 20!=2*3*4*...*20

γράφεται με ανάλυση πρώτων παραγόντων ως $2^{18} * 3^8 * 5^4 *7^2 * 11 *13 *17 *19$ και το ζητούμενο είναι να μοιραστούν όλοι αυτοί οι παράγοντες μεταξύ του αριθμητή και του παρονομαστή έτσι ώστε να μην υπάρχουν κοινοί παράγοντες μεταξύ των δύο και ο παρονομαστής να είναι μεγαλύτερος από τον αριθμητή. Εφόσον δεν πρέπει να έχουν κοινούς παράγοντες κάθε μία από τις παραπάνω δυνάμεις πρέπει να παραμείνει ανέπαφη δηλαδή όλα τα δυάρια θα πάνε στον έναν από τους δύο, όμοια όλα τα τριάρια κ.ο.κ. Ξεχνώντας προς το παρόν ότι ο αριθμητής πρέπει να είναι μικρότερος από τον παρονομαστή, εν τέλει το πρόβλημα ανάγεται στους τρόπους με τους οποίους μπορούμε να μοιράσουμε τις παραπάνω 8 δυνάμεις σε δύο διακεκριμένους αριθμούς, οι οποίοι προφανώς είναι 2^8=256

. Επειδή τώρα σε καμία περίπτωση δεν γίνεται ο αριθμητής και ο παρονομαστής να είναι ίσοι (αφού τότε θα έπρεπε η τετραγωνική ρίζα του 20!

να είναι ακέραιος αριθμός κάτι που εύκολα βλέπουμε ότι δεν ισχύει από την ανάλυση του σε πρώτους παράγοντες), καταλήγουμε ότι για κάθε έναν από τους παραπάνω 256

συνδυασμούς είτε ο αριθμητής είτε ο παρονομαστής θα είναι μεγαλύτερος και επιπλέον υπάρχει φυσικά και ένα συμμετρικό μοίρασμα για κάθε έναν. Άρα το πλήθος των ζητούμενων τελικά ρητών είναι το μισό από αυτό που προκύπτει χωρίς τον περιορισμό μεταξύ παρονομαστή και αριθμητή, δηλαδή 256/2=128

ρητοί.

parmenides51 · #5

διαφορετικά από εδώ

silouan έγραψε:Το $\displaystyle{20!}$ έχει $\displaystyle{8}$ διαφορετικούς πρώτους παράγοντες $\displaystyle{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}$ .
Κάθε πρώτος πρέπει να διαιρεί ακριβώς έναν από τους αριθμητή και παρονομαστή.
Επίσης ένας ακριβώς των $\displaystyle{\frac{m}{n}}$ και $\displaystyle{\frac{n}{m}}$ ανήκει στο $\displaystyle{(0, 1)}$ .
Άρα $\displaystyle{\frac{2^{8}}{2}}$ .

ρητοί με γινόμενο 20!

ρητοί με γινόμενο 20!

Re: ρητοί με γινόμενο 20!

Re: ρητοί με γινόμενο 20!

Re: ρητοί με γινόμενο 20!

Re: ρητοί με γινόμενο 20!

Μέλη σε σύνδεση