Vojtech Jarnik 1993/3 Category I

#1

Να εξεταστεί αν υπάρχει 1-1 συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ η οποία να ικανοποιεί την ανισότητα

$\displaystyle{ f(x^2) - (f(x))^2 \geqslant \frac{1}{4}}$

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Επεξεργασία: Έγινε διόρθωση στην εκφώνηση. Ευχαριστώ τον Βαγγέλη Μουρούκο που το πρόσεξε.

raf616 · #2

Καλησπέρα! Μου φάνηκε απλή:

Η συνθήκη γράφεται $4f^2(x) - 4f(x^2) + 1 \leq 0$ . Για x=0

παίρνουμε $(2f(0)-1)^2 \leq 0 \implies f(0) = 1/2$ και όμοια για x=1

παίρνουμε

, άτοπο αφού η

είναι

. Άρα, δεν υπάρχει συνάρτηση με τις ζητούμενες ιδιότητες.

Vojtech Jarnik 1993/3 Category I

Vojtech Jarnik 1993/3 Category I

Re: Vojtech Jarnik 1993/3 Category I

Μέλη σε σύνδεση