Ακέραια ζεύγη

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

Απάντηση
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6595
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

Ακέραια ζεύγη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Ιαν 08, 2011 2:19 am

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων (m,n) ώστε mn|m^2+n^2+m.


Θανάσης Κοντογεώργης
Κορυφή
Παναγιώτης 1729
Δημοσιεύσεις: 300
Εγγραφή: Τρί Αύγ 24, 2010 12:05 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Ακέραια ζεύγη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παναγιώτης 1729 » Κυρ Ιαν 09, 2011 1:07 am

Υπόδειξη:
Έστω ότι (m,n)=d. Θέτω m=dc, n=db όπου c,b θετικοί ακέραιοι. Τότε έχουμε:
d^2bc|d^2b^2+d^2c^2+dc, άρα dbc|db^2+dc^2+c, οπότε c=da, όπου a ετικός ακέραιος. Τότε παίρνουμε dab|d^2a^2+b^2+a η οποία δίνει a|b^2. Αλλά (a,b)=1, οπότε a=1 και db|d^2+b^2+1. H συνέχεια είναι ένα κλασσικό Vieta Jumping κι έτσι παίρνουμε τις λυσεις (b,d) = (F_{2n-1},F_{2n+1)} ή αντιστρόφως (αν δεν μου έχει ξεφύγει κάτι) όπου F_n ο n-οστός όρος της ακολουθίας Fibonacci. Έτσι βρίσκουμε και τους m,n.


Λώλας Παναγιώτης
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης