Re: διπλασιος αριθμος---------------->Bulletin

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

fmak65
Δημοσιεύσεις: 644
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 6:59 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη

Re: διπλασιος αριθμος---------------->Bulletin

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από fmak65 » Δευ Μάιος 18, 2009 11:52 pm

Ενα προβλημα για να ξεχασουμε τις εξετασεις.
Να βρεθει ενας αριθμος που αν το τελευταιο ψηφιο του γινει πρωτο τοτε ο αριθμος διπλασιαζεται.
π.χ. 123 τοτε ο 312 ειναι διπλασιος του.(προφανως δεν ειναι αυτη η λυση)


Μαραντιδης Φωτης
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: διπλασιος αριθμος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Τετ Μάιος 20, 2009 11:55 am

Problem02-1.jpg
Problem02-1.jpg (69.09 KiB) Προβλήθηκε 978 φορές


Σεραφείμ Τσιπέλης
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: διπλασιος αριθμος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Τετ Μάιος 20, 2009 1:26 pm

Αν κάποιο απο τα αγαπητά μέλη θέλει πλήρη και αναλυτική λύση, ας μου το διαμηνύσει.


Σεραφείμ Τσιπέλης
Άβαταρ μέλους
nkatsipis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 757
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 10:26 am
Τοποθεσία: Σαντορίνη
Επικοινωνία:

Re: διπλασιος αριθμος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nkatsipis » Κυρ Μάιος 24, 2009 12:21 am

Δίνω μια λύση στο παραπάνω όμορφο πρόβλημα!

Έστω ότι ο αριθμός A έχει n+1 ψηφία. Έστω λοιπόν,

A=a_{n}10^n+a_{n-1}10^{n-1}+\ldtos+a_{1}10+a_{0}, όπου a_{i}\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} και a_{n}\neq 0.
O αριθμός A^{\prime} που προκύπτει αν το τελευταίο ψηφίο γίνει πρώτο είναι

A^{\prime}=a_{0}10^n+a_{n}10^{n-1}+a_{n-1}10^{n-2}+\ldots+a_{2}10+a_{1}.

Τότε,

A-10A^{\prime}=a_{0}-a_{0}10^{n+1}.

Εμείς θέλουμε, A^{\prime}=2A. Άρα,

A-20A=a_{0}-a_{0}10^{n+1}. Οπότε,

A=a_{0}\cdot\frac{10^{n+1}-1}{19}.

Επειδή a_{0}\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} (φυσικά a_{0}\neq 0) έχουμε ότι το 19 δεν διαιρεί το a_{0}.

Οπότε για να είναι ο A φυσικός πρέπει το 19 να διαιρεί το 10^{n+1}-1. Δηλαδή,

10^{n+1}\equiv1 \mod 19.

Από το μικρό Θεώρημα του Fermat έχουμε ότι για n+1=18 η ισοδυναμία ισχύει (όπως και για κάθε πολλαπλάσιο του 18). Αυτός είναι και ο μικρότερος φυσικός για τον οποίο ισχύει η ισοδυναμία (γνωρίζουμε ότι ο εκθέτης του a \mod m διαιρεί το \phi(m). Εδώ \phi(19)=18. Αρκεί να κάνουμε λοιπόν μερικές μόνο δοκιμές).

Για n+1=18 και a_{0}=2 παίρνουμε τον μικρότερο αριθμό με αυτή την ιδιότητα, 105263157894736842.

Νικόλαος Κατσίπης


Άβαταρ μέλους
nkatsipis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 757
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 10:26 am
Τοποθεσία: Σαντορίνη
Επικοινωνία:

Re: διπλασιος αριθμος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nkatsipis » Κυρ Μάιος 24, 2009 1:23 am

Ας δούμε και το "ανάποδο" του παραπάνω προβλήματος,

Να βρεθεί αν υπάρχει φυσικός αριθμός που αν το πρώτο ψηφίο του γίνει τελευταίο, να προκύπτει ο διπλάσιος αριθμός.

Καληνύχτα,

Νικόλαος Κατσίπης


Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: διπλασιος αριθμος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Τρί Μάιος 26, 2009 9:44 pm

Το "ανάποδο"
Συνημμένα
Numbers.jpg
Numbers.jpg (41.64 KiB) Προβλήθηκε 693 φορές


Σεραφείμ Τσιπέλης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες