Re: διπλασιος αριθμος---------------->Bulletin

fmak65 · #1

Ενα προβλημα για να ξεχασουμε τις εξετασεις.
Να βρεθει ενας αριθμος που αν το τελευταιο ψηφιο του γινει πρωτο τοτε ο αριθμος διπλασιαζεται.
π.χ. 123 τοτε ο 312 ειναι διπλασιος του.(προφανως δεν ειναι αυτη η λυση)

#2

: Problem02-1.jpg (69.09 KiB) Προβλήθηκε 1332 φορές

#3

Αν κάποιο απο τα αγαπητά μέλη θέλει πλήρη και αναλυτική λύση, ας μου το διαμηνύσει.

#4

Δίνω μια λύση στο παραπάνω όμορφο πρόβλημα!

Έστω ότι ο αριθμός

έχει

ψηφία. Έστω λοιπόν,

$A=a_{n}10^n+a_{n-1}10^{n-1}+\ldtos+a_{1}10+a_{0},$ όπου $a_{i}\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ και $a_{n}\neq 0.$
O αριθμός $A^{\prime}$ που προκύπτει αν το τελευταίο ψηφίο γίνει πρώτο είναι

$A^{\prime}=a_{0}10^n+a_{n}10^{n-1}+a_{n-1}10^{n-2}+\ldots+a_{2}10+a_{1}.$

Τότε,

$A-10A^{\prime}=a_{0}-a_{0}10^{n+1}.$

Εμείς θέλουμε, $A^{\prime}=2A.$ Άρα,

$A-20A=a_{0}-a_{0}10^{n+1}$ . Οπότε,

$A=a_{0}\cdot\frac{10^{n+1}-1}{19}$ .

Επειδή $a_{0}\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ (φυσικά $a_{0}\neq 0$ ) έχουμε ότι το 19 δεν διαιρεί το $a_{0}$ .

Οπότε για να είναι ο

φυσικός πρέπει το 19 να διαιρεί το $10^{n+1}-1.$ Δηλαδή,

$10^{n+1}\equiv1 \mod 19$ .

Από το μικρό Θεώρημα του Fermat έχουμε ότι για n+1=18

η ισοδυναμία ισχύει (όπως και για κάθε πολλαπλάσιο του 18). Αυτός είναι και ο μικρότερος φυσικός για τον οποίο ισχύει η ισοδυναμία (γνωρίζουμε ότι ο εκθέτης του

$\mod m$ διαιρεί το $\phi(m)$ . Εδώ $\phi(19)=18.$ Αρκεί να κάνουμε λοιπόν μερικές μόνο δοκιμές).

Για n+1=18

και $a_{0}=2$ παίρνουμε τον μικρότερο αριθμό με αυτή την ιδιότητα, 105263157894736842.

Νικόλαος Κατσίπης

#5

Ας δούμε και το "ανάποδο" του παραπάνω προβλήματος,

Να βρεθεί αν υπάρχει φυσικός αριθμός που αν το πρώτο ψηφίο του γίνει τελευταίο, να προκύπτει ο διπλάσιος αριθμός.

Καληνύχτα,

Νικόλαος Κατσίπης

#6

Το "ανάποδο"