4ο ευκολο θεματακι

sidchris · #1

Να βρεθούν οι ρητοί χ,ψ με ψ>0 ώστε να ισχύει $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}=x+\sqrt{y}$

#2

Υψώνοντας τη δοσμένη στην τρίτη δύναμη παίρνουμε:

$2+\sqrt{5}=x^3+3x^2\sqrt{y}+3xy+y\sqrt{y}$ άρα $\mathbb{Q}\ni 2-x^3-3xy =(3x^2+y)\sqrt{y}-\sqrt{5} \ \ (1).$

Εάν $(3x^2+y)\sqrt{y}-\sqrt{5}\neq 0$ τότε επειδή $(3x^2+y)\sqrt{y}-\sqrt{5} \in\mathbb{Q} \ \ (2)$ άρα παίρνουμε

$\displaystyle\frac{(3x^2+y)^2y-5}{(3x^2+y)\sqrt{y}+\sqrt{5}} \in \mathbb{Q}$ (αφού $(3x^2+y)\sqrt{y}+\sqrt{5} > 0$ )

δηλαδή (εδώ χρησιμοποιούμε την υπόθεση ότι $(3x^2+y)\sqrt{y}-\sqrt{5}\neq 0$ αφού χρειάζεται να διαιρέσουμε με το

)
$(3x^2+y)\sqrt{y}+\sqrt{5} \in \mathbb{Q} \ \ (3)$ .

Αφαιρώντας τις (2)

και

καταλήγουμε σε άτοπο.

Άρα $(3x^2+y)\sqrt{y}-\sqrt{5}=0 \ \ (4)$ οπότε από την (1)

παίρνουμε $2-x^3-3xy=0 \ \ (5)$

Από την (5)

λύνοντας ως προς

παίρνουμε $y=\displaystyle\frac{2-x^3}{3x} \ \ (6)$ και αντικαθιστώντας στην (4)

παίρνουμε τελικά την εξίσωση 4(4x^3+1)^2(2-x^3)=135x^3

και θέτωντας x^3=k

και κάνοντας πράξεις, καταλήγουμε στην τριτοβάθμια εξίσωση 64k^3-96k^2+75k-8=0

τις οποίας οι πιθανές ρητές ρίζες είναι οι $\displaystyle\frac{m}{n}$ όπου

διαιρέτης του σταθερού όρου

και όπου

διαιρέτης του συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου δηλαδή του

.

Τελικά βρίσκουμε σαν ρητή ρίζα τον αριθμό $\displaystyle\frac{1}{8}$ που είναι και η μοναδική πραγματική.

Συνεπώς $x^3=\displaystyle\frac{1}{8}$ άρα $\boxed{x=\displaystyle\frac{1}{2}}$ . Αντικαθιστώντας στην (6)

παίρνουμε $\boxed{y=\displaystyle\frac{5}{4}}$ .

Αλέξανδρος

#3

Μια ακόμα λύση,

θέτω $a=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}$ και $b=-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}$ .
Tότε

$\boxed{ab=-1}$ (1)
a^3+b^3=4

.
Οπότε, θέτοντας x=a+b

και χρησιμοποιώντας την ταυτότητα

(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)

,

έχουμε ότι x^3+3x-4=0,

ή

Επειδή

, προκύπτει ότι x=1.

Άρα $\boxed{a+b=1}$ (2).

Από τις (1) και (2): a^2-a-1=0.

Και επειδή a>0

έχουμε $a=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{5}{4}}$ .

Νικόλαος Κατσίπης

#4

Νίκο ωραία και κομψή λύση...

Αλέξανδρος

#5

cretanman έγραψε:Νίκο ωραία και κομψή λύση...

Αλέξανδρος

Σε ευχαριστώ Άλεξ

!

sidchris · #6

ναι οντως πολυ ωραια λυση.εγω οταν την εφτιαξα την πηγα μεσο Ιαπωνια

4ο ευκολο θεματακι

4ο ευκολο θεματακι

Re: 4ο ευκολο θεματακι

Re: 4ο ευκολο θεματακι

Re: 4ο ευκολο θεματακι

Re: 4ο ευκολο θεματακι

Re: 4ο ευκολο θεματακι

Μέλη σε σύνδεση