ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

S.E.Louridas · #1

ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Αν $x,\psi \in \left( {0,\frac{\pi } {2}} \right) \Rightarrow \left( {\eta \mu \chi } \right)^{\sigma \upsilon \nu \psi } + \left( {\sigma \upsilon \nu \psi } \right)^{\eta \mu \chi } > 1.$ …(1)
Είναι δυνατόν να ενισχυθεί το δεξί μέλος (το μικρότερο μέλος) της (1) ώστε αυτή να ισχύει σαν ανισοισότητα ;

S.E.Louridas

#2

Μια λύση για το πρώτο σκέλος της ερώτησης υπάρχει στο αρχείο: http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... ew&iden=21

Δεν κατάφερα να βρω την αντίστοιχη συζήτηση. Ίσως ο Γρηγόρης μπορεί να βοηθήσει.

#3

Demetres έγραψε:Μια λύση για το πρώτο σκέλος της ερώτησης υπάρχει στο αρχείο: http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... ew&iden=21

Δεν κατάφερα να βρω την αντίστοιχη συζήτηση. Ίσως ο Γρηγόρης μπορεί να βοηθήσει.

Τό αρχείο προέκυψε από μιά συζήτηση στό "παλιό" mathematica ( pathfinder ), η οποία - λόγω "ηλικίας" - μάλλον δέν μπορεί νά βρεθεί εκεί.

Καί μιά ερώτηση: H (1) θεωρείται ότι είναι όλη ή πρόταση $x,\psi \in \left( {0,\frac{\pi } {2}} \right) \Rightarrow \left( {\eta \mu \chi } \right)^{\sigma \upsilon \nu \psi } + \left( {\sigma \upsilon \nu \psi } \right)^{\eta \mu \chi } > 1$ , οπότε έχει νόημα ή εκφραση "δεξί" μέλος, ή σάν "δεξί" μέλος εννοείται κάτι άλλο;

Ilias_Zad · #4

βαζω μια αλλη λυση
ειναι
$(sinx)^{1-cosy} = ( 1 - (1-sinx))^{1-cosy} \leq 1 - (1-sinx)(1-cosx) < sinx+ cosx$
$\leftrightarrow (sinx)^{cosy} > \frac{sinx}{sinx+cosy}$
ομοια
$(cosy)^{sinx} > \frac{cosy}{sinx+cosy}$
προσθεση κατα μελη και η ζητουμενη.
(χρησιμοποιησα την bernoulli πιο πανω)

Ilias_Zad · #5

για το δευτερο σκελος τωρα που το βλεπω, αμα παρουμε x=y και μετα παρατηρησουμε οτι το οριο της συναρτηση στο $\frac{\pi}{2}$ ειναι 1 αντιλαμβανομαστε οτι παιρνει τιμες απειροστα κοντα του αρα το φραγμα δεν βελτιωνεται.(η συναρτηση ειναι συνεχης.)

S.E.Louridas · #6

ΝΑΙ χρειάζεται διευκρίνηση.Εννοώ ενίσχυση της μονάδας μετα το σύβολο >.
Σ.Ε.Λουρίδας

#7

Kαλησπέρα, ilias91 ποιά είναι η εκδοχή της bernoulli που χρησιμοποιείς; Ρωτάω γιατί εγω γνωρίζω άλλη.Με εκθέτη φυσικό. Μάλλον δε γνωρίζω αυτήν την εκδοχή.

Ilias_Zad · #8

καλησπερα.
εστω x>-1

πραγματικος αριθμος. Τοτε
-με 0< r< 1

ισχυει $(1+x)^r \leq 1+xr$
-με r<0

ή

ισχυει ( $1+x)^r \geq 1+xr$
ισοτητα μονο για x=0

.
η αποδειξη ειναι στοιχειωδης εντελως.
βγαινει και σκεφτομενος την κυρτοτητα της (1+x)^r, x>-1

#9

Ok, ευχαριστώ πολύ.

#10

Demetres έγραψε:Μια λύση για το πρώτο σκέλος της ερώτησης υπάρχει στο αρχείο: http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... ew&iden=21

Σκιαγραφω μια δικη μου αποδειξη της χ^ψ + ψ^χ > 1 (*sci.math, Οκτωβριος 2003*): αφου παρατηρησουμε οτι χ <= ψ αν και μονον αν χ^(ψ-1) >= ψ^(χ-1), υποθετουμε χ <= ψ και διακρινουμε τις περιπτωσεις ψ > 1/e (οποτε με f(χ) = χ^ψ + ψ^χ εχουμε f'(χ) > 0) και ψ <= 1/e (οποτε με g(ψ) = χ^ψ + ψ^χ εχουμε g'(ψ) < 0 και g(ψ) >= g(1/e) >= 1).

Λεπτομερειες υπαρχουν εδω. Η δευτερη περιπτωση ειναι λιγο πιο δυσκολη, και παρατηρω *τωρα* οτι σχετιζεται *καπως* με την ανισοτητα e(e-1) > e^(e-1) - 1

Γιωργος Μπαλογλου

S.E.Louridas · #11

ΛΥΣΗ ΤΗΣ :
Αν $0 < a < 1 \wedge 0 < b < 1 \Rightarrow a^b + b^a > 1.$
Λύση:
Θεωρούμε την συνάρτηση
$f:\left[ {0,1} \right] \to \mathbb{R} \wedge f\left( x \right) = a^x + x^a - 1,o\tau \alpha \nu :0 < a < 1 \Rightarrow f\left( 0 \right) = 0,f\left( 1 \right) = a > 0.$
Παρατηρούμε ότι $f^{\prime}(x)$ = $a^x \ln a + ax^{a - 1} .$
Υποθέτουμε ότι $\exists b \in \left( {0,1} \right):a^b + b^a - 1 \leqslant 0,a^b \ln a + ab^{a - 1} = 0 \Rightarrow$ $1 - b\frac{{\ln a}} {a} - a^{ - b} \leqslant 0,$
πράγμα άτοπο όταν $a,b \in \left( {0,1} \right)$
και αυτό με βάση την κυρτότητα της συνάρτησης
$g:\left( {0,1} \right) \to \mathbb{R} \wedge g\left( x \right) = 1 - x\frac{{\ln a}} {a} - a^{ - x} .....$
πού είναι κοίλη αφού εύκολα η δεύτερη παράγωγος της βγαίνει αρνητική ,κ.τ.λ.
Παρατηρούμε ότι $\mathop {\lim }\limits_{a \to 1 \wedge b \to 0} \left( {a^b + b^a } \right) = 1,$ οπότε από τον ορισμό του ορίου για την συνάρτηση
$h\left( {a,b} \right) = a^b + b^a /\mathbb{R}^2$ (για κάθε περιοχή του (1,0) του R*R υπάρχει….) και από την πληρότητα του
$\mathbb{R}$ η ανισότητα είναι ‘σφικτή’.Δηλαδή δέν υπάρχει θετικός πού προστιθέμενος στο 1......

S.E.Louridas

#12

Πιθανόν με ίδιο το αριστερό μέλος, να υπάρχει δυνατότητα ανισοϊσότητας, αλλά μόνον αν το δεξιό μέλος αντικατασταθεί απο παράσταση των x και y (δεν εντόπισα κάποια μορφή). Αριθμητικά όντως είναι σφιχτή.

#13

Persona_Non_Grata έγραψε:Πιθανόν με ίδιο το αριστερό μέλος, να υπάρχει δυνατότητα ανισοϊσότητας, αλλά μόνον αν το δεξιό μέλος αντικατασταθεί απο παράσταση των x και y (δεν εντόπισα κάποια μορφή). Αριθμητικά όντως είναι σφιχτή.

Από την απάντηση του Ηλία, μπουρούμε να δούμε ότι $\displaystyle x^y + y^x > \frac{x+y}{x+y-xy}$ (με αυστηρή όμως ανισότητα επειδή υπάρχει αυστηρή ανισότητα και στην Bernoulli για τα x και y που μας ενδιαφέρουν).

#14

Demetres έγραψε: Από την απάντηση του Ηλία, μπουρούμε να δούμε ότι $\displaystyle x^y + y^x > \frac{x+y}{x+y-xy}$ (με αυστηρή όμως ανισότητα επειδή υπάρχει αυστηρή ανισότητα και στην Bernoulli για τα x και y που μας ενδιαφέρουν).

Με το συγκεκριμένο δεξιό μέλος όντως είναι γνήσια ανισότητα. Με κάποια άλλη παράσταση όμως?

ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Re: ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Μέλη σε σύνδεση