Μια προτεινόμενη από τον Θ. Μπόλη (από πολύ παλιά)

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4247
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Μια προτεινόμενη από τον Θ. Μπόλη (από πολύ παλιά)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Παρ Σεπ 23, 2011 2:57 pm

Να βρείτε το πλήθος των αριθμών της μορφής x^{2}+y^{2} , όπου

1\leq x\leq 1986,1\leq y\leq 1986 και 121/x^{2}+y^{2}


kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: Μια προτεινόμενη από τον Θ. Μπόλη (από πολύ παλιά)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Παρ Σεπ 23, 2011 3:51 pm

Θα χρησιμοποιήσουμε το εξής λήμμα: Άν \displaystyle p | a^2+b^2, a,b \in \mathbb{Z},p \in \mathbb{P}, p=4m+3,m \in \mathbb{N}\Longrightarrow \displaystyle p|a \wedge  p|b.

Άρα στην περιπτωσή μας επειδή (αφού ο 121 διαιρεί τον \displaystyle x^2+y^2 θα τον διαρεί και ο 11 ) \displaystyle 11|\left(x^2+y^2 \right)\Rightarrow x=11l,y=11m , m,l \in \mathbb{N^{*}}. Όμως επειδή \displaystyle 1\leqslant x,y \leqslant 1986, αλλά τα \displaystyle x,y είναι πολλαπλάσια του 11.

Όμως από το 1 εώς το 1986 υπάρχουν \displaystyle \left[\frac{1986}{11} \right]=180 πολλαπλάσια του 11.Άρα συνολικά οι αριθμοί \displaystyle x^2+y^2 είναι \displaystyle \left[\begin{matrix} 
180   \\ 
 2  
\end{matrix} \right]=\binom{180+2-1}{2}=\binom{181}{2} αριθμοί.

Όπως σωστά αναφέρει ο κ.Μιχάλης παρακάτω ξέχασα να λάβω υπόψιν τους αριθμούς της μορφής \displaystyle p^2+q^2=r^2+s^2, p\neq q\neq r\neq s\neq p, οι οποίες πρέπι να αφαιρεθούν από τον παραπάνω αριθμό.Συγνώμη για την, βιαστική και ελλιπέστατη λύση.
τελευταία επεξεργασία από kwstas12345 σε Παρ Σεπ 23, 2011 4:55 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12180
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μια προτεινόμενη από τον Θ. Μπόλη (από πολύ παλιά)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Σεπ 23, 2011 4:41 pm

Κώστα, νομίζω ότι οι περιπτώσεις είναι λιγότερες. Π.χ. έλαβες υπόψη διπλά μετρήματα όπως τα A^2+B^2=B^2+A^2 αλλά όχι πιο σύνθετα όπως το 25^2+60^2=39^2+52^2 (=4225).

Πρέπει να αφαιρέσουμε διπλά μετρήματα κόμβων σε τόξα κύκλων ίδιας ακτίνας. Στην Αναλυτική Θεωρία Αριθμών υπάρχει η σχετική θεωρία. Ενδεχομένως, όμως, επειδή έχουμε να κάνουμε με "μικρά" νούμερα, ίσως είναι ευκολότερο να κάνουμε απαρίθμηση με το χέρι (δεν το ερεύνησα).

Μ.


Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1282
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Μια προτεινόμενη από τον Θ. Μπόλη (από πολύ παλιά)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Παρ Σεπ 23, 2011 8:22 pm

Νομίζω πως χρειαζόμαστε το θεώρημα που παραθέτω παρακάτω. (για τα - που δεν θέλουμε απλά διαιρούμε)
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... wo+squares

Δηλαδή δείτε και το 7 εδώ
http://mathafou.free.fr/themes_en/ksumsq.html


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης