Συνδυασμοί γνήσια αυξουσών συναρτήσεων

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Συνδυασμοί γνήσια αυξουσών συναρτήσεων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Δευ Νοέμ 07, 2011 11:11 pm

Έστω τα σύνολα \displaystyle{A = \left\{ {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} \right\}} , \displaystyle{B = \left\{ {11,12,13,14,15,16,17,18,19,20} \right\}}
και οι γνήσια αύξουσες συναρτήσεις \displaystyle{f:A \to B}. Πόσες τέτοιες συναρτήσεις μπορούμε να ορίσουμε;
Δεν έχω ιδέα λολ


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6261
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Συνδυασμοί γνήσια αυξουσών συναρτήσεων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Δευ Νοέμ 07, 2011 11:15 pm

Προφανώς μόνο μία!


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Συνδυασμοί γνήσια αυξουσών συναρτήσεων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Δευ Νοέμ 07, 2011 11:21 pm

Λολ ναι. Ξεχάστε το γνήσια και κρατήστε ότι η f πρέπει να είναι απλά αύξουσα


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: Συνδυασμοί γνήσια αυξουσών συναρτήσεων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Δευ Νοέμ 07, 2011 11:28 pm

Kaλησπέρα και από μένα, ξεκλέβοντας λίγο χρόνο, αναφέρω πως γενικά ο αριθμός των \displaystyle 1-1 απεικονίσεων \displaystyle f:A\rightarrow B με \displaystyle A=\left\{a_{1},a_{2},...,a_{k} \right\} και \displaystyle B=\left\{b_{1},b_{2},...,b_{m} \right\}, m>k, είναι \displaystyle \binom{m}{k}. Αφού \displaystyle \forall a_{i} \in A  \exists / b_{j} \in B : f\left(a_{i} \right)=b_{i}, ουσιαστικά πέρνουμε κάθε φορά k στοιχεία από το B, σε αυξουσα σειρά (αφού δεν είναι διατεταγμένα), τα οποία αποτελούν εικόνες των a_{i}.Ayt;ο μπορεί να γίνει με \displaystyle \binom{m}{k} tr;oπους όσο και το πλήθος των ζητούμενων απεικονίσεων.Στην περίπτωση μας είναι \displaystyle \binom{10}{10}=1.


kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: Συνδυασμοί γνήσια αυξουσών συναρτήσεων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Δευ Νοέμ 07, 2011 11:44 pm

Βλέπωντας το δεύτερο μήνυμα του κ. Βασίλη το πλήθος των αύξουσων απεικονίσεων \displaystyle f:A\rightarrow B (με τους ορισμούς της παραπάνω δημοσιέυσης) είναι \displaystyle \begin{bmatrix} 
m  \\  
 k  
\end{bmatrix}=\binom{m+k-1}{k}. Σε αυτή την περίπτωση μπορούν παραπάνω από 1 στοιχεία a_{i} τα οποία να έχουν την ίδια εικόνα,Ουσιαστικά τα στοιχεία \displaystyle \left\{c_{1},c_{2},...,c_{m} \right\}\subset B είναι οι εικόνες των \displaystyle \left\{a_{1},a_{2},...,a_{k} \right\},f\left(a_{i} \right)=c_{i}, 1\leqslant i\leqslant k, όταν \displaystyle a_{1}<a_{2}< ...< a_{k},c_{1}\leqslant c_{2}\leqslant ...\leqslant c_{k} επειδή είναι αύξουσα η απεικόνιση. Και στην πάνω περίπτωση τα στοιχεία του A είναι διαφορετικά μεταξυ τους.Άρα στην περιπτωσή μας: \displaystyle \binom{19}{10} είναι το πλήθος των ζητούμενων συναρτήσεων.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8449
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Συνδυασμοί γνήσια αυξουσών συναρτήσεων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Νοέμ 08, 2011 1:32 pm

Λίγο διαφορετικά από την λύση του Κώστα.

Για κάθε αύξουσα συνάρτηση f:A \to B ορίζουμε την συνάρτηση g:A \to \{12,13,\ldots,30\} με g(n) = f(n) + n και παρατηρούμε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα. Αντιστρόφως, αν η g:A \to \{12,13,\ldots,30\} είναι γνησίως αύξουσα, τότε η συνάρτηση h: A \to \{2,3,\ldots,29\} με h(n) = g(n) - n είναι αύξουσα. Επιπλέον, αφού h(10) = g(10) - 10 \leqslant 20 και h(1) = g(1) - 1 \geqslant 11 άρα, αφού η h είναι αύξουσα, έχει πεδίο τιμών το \{11,\ldots,20\}.

Επομένως ο αριθμός των αύξουσων συναρτήσεων f:A \to B ισούται με τον αριθμό των γνησίως αύξουσων συναρτήσεων g:A \to \{12,\ldots,30\} και όπως εξήγησε ο Κώστας στην πρώτη του δημοσίευση αυτό ισούται με \binom{19}{10}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες