Λογαριθμεκθετικη Εξισωση

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Λογαριθμεκθετικη Εξισωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papel » Παρ Σεπ 04, 2009 8:20 pm

Να βρεθει ο αριθμος των λυσεων της ακολουθης εξισωσης :

\displaystyle{{\log _{\frac{1}{{16}}}}\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^x}}
Συνημμένα
eq1.png
eq1.png (3.77 KiB) Προβλήθηκε 953 φορές
τελευταία επεξεργασία από papel σε Παρ Σεπ 04, 2009 9:12 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Άβαταρ μέλους
Χρήστος Λαζαρίδης
Δημοσιεύσεις: 656
Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
Επικοινωνία:

Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρήστος Λαζαρίδης » Παρ Σεπ 04, 2009 8:53 pm

Για την εξυπνότατη άσκηση του papel, νομίζω ότι;
Οι συναρτήσεις f(x)=\log _{\frac{1}{18}}xκαι g(x)=\left(\frac{1}{16} \right)^{x}είναι αντίστροφες και οι γραφικές τους παραστάσεις δεν έχουν κοινά σημεία.
Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη.
Φιλικά Χρήστος
τελευταία επεξεργασία από Χρήστος Λαζαρίδης σε Παρ Σεπ 04, 2009 9:04 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ο ηλίθιος είναι αήττητος
papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papel » Παρ Σεπ 04, 2009 8:55 pm

Χρηστο το 1/16 ειναι βαση και οχι 1/16*χ.Οποτε μετα την διευκρινηση ελπιζω να την ξανακοιταξεις.


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Άβαταρ μέλους
Χρήστος Λαζαρίδης
Δημοσιεύσεις: 656
Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
Επικοινωνία:

Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρήστος Λαζαρίδης » Παρ Σεπ 04, 2009 8:59 pm

papel
Η πληκτρολόγηση μου είναι χάλια,αλλά το 1/16 το θεωρώ σαν βάση.
Φιλικά Χρήστος
Νομίζω ότι το διόρθωσα


Ο ηλίθιος είναι αήττητος
papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papel » Παρ Σεπ 04, 2009 9:08 pm

Χρηστο να το ξαναδιατυπωσω ειναι ο λογαριθμος του χ με βαση το 1/16.Λοιπον
σου δινω μια λυση (x,y)=(1/4,1/2).Tωρα Χρηστο ;) ;
(Δεν ειναι εξυπνη ειναι δυστρωπη και κακια)


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 651
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Oxford, United Kingdom

Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Παρ Σεπ 04, 2009 9:14 pm

Παρατηρηστε οτι το x=1/2 ειναι λυση... παντως η ασκηση δεν νομιζω να ειναι και τοσο για ολυμπιαδες...


Κολλιοπουλος Νικος -- Απόφοιτος ΣΕΜΦΕ - ΕΜΠ, Υποψήφιος διδάκτωρ στο πανεπιστήμιο της Οξφόρδης

https://www.maths.ox.ac.uk/people/nikolaos.kolliopoulos
papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papel » Παρ Σεπ 04, 2009 9:19 pm

Το θεμα ειναι να δειξουμε οτι εχει ενα συγκεκριμενο αριθμο λυσεων.
Λοιπον ο Χρηστος εκανε μια σωστη παρατηρηση οτι οι συναρτησεις στο LHS και
RHS της ανισοτητας ειναι αντιστροφες.Αρα τα γραφηματα τεμνονται πανω σε ποια
ευθεια;Την y=x.Τελικα δυο λυσεις (χ=1/4,χ=1/2).Μενει να δειξουμε οτι η εξισωση δεν
εχει τρεις λυσεις;Θυμιζει κατι;


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Άβαταρ μέλους
Χρήστος Λαζαρίδης
Δημοσιεύσεις: 656
Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
Επικοινωνία:

Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρήστος Λαζαρίδης » Παρ Σεπ 04, 2009 9:54 pm

Έχεις δικιο Papel. Άργησα αλλά τόπιασα.
Φιλικά Χρηστος


Ο ηλίθιος είναι αήττητος
Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 651
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Oxford, United Kingdom

Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Σάβ Σεπ 05, 2009 12:26 am

papel έγραψε:Αρα τα γραφηματα τεμνονται πανω σε ποια
ευθεια;Την y=x.
Αυτο ειναι λαθος. Ισχυει οταν η συναρτηση ειναι γνησιως αυξουσα, εδω η f ειναι φθινουσα, πχ το 1/2 ειναι λυση ομως f(1/2) = 1/4 ...


Κολλιοπουλος Νικος -- Απόφοιτος ΣΕΜΦΕ - ΕΜΠ, Υποψήφιος διδάκτωρ στο πανεπιστήμιο της Οξφόρδης

https://www.maths.ox.ac.uk/people/nikolaos.kolliopoulos
papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papel » Σάβ Σεπ 05, 2009 12:34 am

Nick αυτη η συζητηση εχει γινει εκτενεστατα (σημεια τομης αντιστροφων).Ανεβασα την λυση και αυτος μιλαει για την ιδια ευθεια.
Χρηστο ελπιζω διαβαζοντας να ειδες το πνευμα της ασκησης.
Συνημμένα
solution.png
solution.png (72.39 KiB) Προβλήθηκε 869 φορές


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 651
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Oxford, United Kingdom

Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Σάβ Σεπ 05, 2009 12:47 am

papel έγραψε:Nick αυτη η συζητηση εχει γινει εκτενεστατα (σημεια τομης αντιστροφων).Ανεβασα την λυση και αυτος μιλαει για την ιδια ευθεια.
Δεν καταλαβαινω γιατι ολες οι υπολοιπες ριζες θα πρεπει να ειναι πανω στην 1η διχοτομο. Η 1/χ πχ εχει αντιστροφη την ιδια αλλα εχει μονο δυο κοινα σημεια με την y=x, εχετε κανενα λινκ με τη συζητηση που λετε?


Κολλιοπουλος Νικος -- Απόφοιτος ΣΕΜΦΕ - ΕΜΠ, Υποψήφιος διδάκτωρ στο πανεπιστήμιο της Οξφόρδης

https://www.maths.ox.ac.uk/people/nikolaos.kolliopoulos
papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papel » Σάβ Σεπ 05, 2009 12:52 am

Nick εδω http://apeironews.blogspot.com/

Κατεβασε ολα τα τευχη (4) του περιοδικου που εκδιδει η τοπικη ΕΜΕ.Βασικα ηταν
μια διαμαχη μεταξυ του κ.Πετρακη και αλλων μαθηματικων.


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 651
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Oxford, United Kingdom

Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Σάβ Σεπ 05, 2009 1:42 am

papel έγραψε:Nick εδω http://apeironews.blogspot.com/

Κατεβασε ολα τα τευχη (4) του περιοδικου που εκδιδει η τοπικη ΕΜΕ.Βασικα ηταν
μια διαμαχη μεταξυ του κ.Πετρακη και αλλων μαθηματικων.
Δεν τα διαβασα ολα, αλλα διαβασα το κειμενο που αναφερει το λαθος που ειχε γινει και συμφωνω με οσα γραφει... ετσι κι αλλιως υπαρχουν πολλα αντιπαραδειγματα οτι οι αντιστροφες συναρτησεις δεν τεμνονται μονο στην διχοτομο... Αυτο που γραφει αρχικα η λυση που δωσατε ειναι λαθος, εφοσον η συναρτηση δεν ειναι αυξουσα και εφοσον δεν δινεται καποια "ειδικη αποδειξη" για το οτι η συγκεκριμενη συναρτηση δεν ανοικει στα αντιπαραδειγματα που ανεφερα πιο πανω. Παρ ολα αυτα, στη λυση που ανεβασατε αν και αρχικα γραφει οτι οι λυσεις θα ανοικουν στην 1η διχοτομο, δεν το χρησημοποιει πουθενα και δινει μετα μια ολοσωστη αποδειξη στο οτι η εξισωση δεν μπορει να εχει αλλη λυση (λυνει την f(f(x)) = x και οχι την f(x)=x)


Κολλιοπουλος Νικος -- Απόφοιτος ΣΕΜΦΕ - ΕΜΠ, Υποψήφιος διδάκτωρ στο πανεπιστήμιο της Οξφόρδης

https://www.maths.ox.ac.uk/people/nikolaos.kolliopoulos
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Σάβ Σεπ 05, 2009 3:08 am

Nick1990 μετά αν θες μπορείς να διαβάσεις και εδώ viewtopic.php?f=6&t=332&start=0 όπως και εδώ viewtopic.php?f=61&t=2396


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5354
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Σάβ Σεπ 05, 2009 11:03 am

Έχουμε ήδη δύο ρίζες. Τι γίνεται όμως με την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης διαφοράς :

h(x) = log_{\frac {1}{16}} x - (\frac {1}{16}})^x

Ας την υπολογίσει κάποιος και αν δεν έχει ρίζες έχουμε τελειώσει.
Διαφορετικά το ξαναβλέπουμε ! Αλλά αν έχει κάποιος το ΜΑΤΗΕΜΑΤΙCA , ας σχεδιάσει τις δύο καμπύλες να έχουμε τουλάχιστον την απάντηση για το πλήθος των ριζών.

Μπάμπης


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2178
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Σάβ Σεπ 05, 2009 8:48 pm

φαίνεται χα έχει 3 ρίζες
Clipboard011.png
Clipboard011.png (1.98 KiB) Προβλήθηκε 749 φορές


papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papel » Σάβ Σεπ 05, 2009 9:11 pm

Ανεβασα μερικες παλετες για το λογισμικο Mathematica που αυτοματοποιουν την
δημιουργια γραφηματος.Στην εκδοση 7 μπορειτε να τις εγκαταστησετε μονιμα.
Ελπιζω να φανουν χρησιμες.
Ροδολφε το γραφικο αποτελεσμα ερχεται σε αντιθεση με την αποδειξη.
Συνημμένα
graph.rar
(29.59 KiB) Μεταφορτώθηκε 37 φορές


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5354
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Κυρ Σεπ 06, 2009 12:01 pm

R BORIS έγραψε:φαίνεται χα έχει 3 ρίζες
Clipboard011.png
Ροδόλφε καλημέρα !
α) Η συνάρτηση y= (\frac {1}{16})^x τέμνει την y = x σε ένα ακριβώς σημείο. Απο το σημείο αυτό περνάει σίγουρα και η αντίστροφη.Έχουμε λοιπόν μια σίγουρη λυση που είναι η τετμημένη του σημείου τομής που αναφέραμε. Έχουμε και δύο λύσεις με παρατήρηση, διαφορετικές σίγουρα από την πρώτη. Έτσι φαίνεται ότι έχουμε τρεις τουλάχιστον λύσεις.
β) Η τρίτη παράγωγος δεν δείχνει από πρώτη ματιά να μην μηδενίζεται, οπότε δεν μπορώ να συμπεράνω ότι η εξίσωση έχει ακριβώς τρεις λύσεις. Η δεύτερη παράγωγος πρέπει να έχει δύο τουλάχιστον ρίζες(στο (0,1) πάντα). Αν καταφέρουμε να το αποδείξουμε αυτό τελειώνουμε. Αλλά μια τέτοια αποδειξη, αν το δεις, μοιάζει βουνό, διότι το θέμα ανάγεται στο πλήθος των κοινών σημείων μας εκθετικής με βάση 16 και μιας παραβολής y = x^2 με συντελεστή τον κύβο του ln16.
γ) Η λύση του αγγλικού κειμένου είναι προφανές ότι έχει μαθηματικά κενά.

ΠΡΟΣΘΗΚΗ

Μέχρι να εγκαταλείψω την οθόνη, έκανα και την εξής σκέψη. Αφού αναζητάμε τις λύσεις στο (0,1) (εκεί μόνο μπορεί να υπάρχουν), λογαρίθμησα την αρχική ισότητα και πήρα τη νέα συνάρτηση διαφοράς.
Αυτή δίνει παράγωγο(αν δεν έκανα λάθος στις πράξεις) την h'(x) = \frac {1}{xlnx} + 4ln2. Η δεύτερη παράγωγος τώρα ,που με την προυπόθεση ότι εξίσωση έχει και τέταρτη ρίζα , θα έχει δύο τουλάχιστον ρίζες, είναι η

h''(x) = - \frac {1+lnx}{(xlnx)^2}

Αλλά αυτή έχει μόνο μία ρίζα και τελειώνουμε. Δεν μένει παρά να κάνω τις πράξεις ξανά , διότι τις έκανα πολύ γρήγορα.

Μπάμπης


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Κυρ Σεπ 06, 2009 1:52 pm

Γειά σας
Σχετική με το θέμα συζήτησης είναι η πολύ ενδιαφέρουσα εργασία του Μπάμπη Τουμάση που δημοσιεύθηκε πριν 15 χρόνια στον Ευκλείδη Β'.
Μπάμπης Τουμάσης_Πόσο καλά έχουμε κατανοήσει την εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση; ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β', 1994 (3), σ. 52-55.
Λόγω μεγέθους του αρχείου (ξεπερνάει τα 7 Mb) την ανέβασα στο Ι.file.it και όχι εδώ. Άν μπορέσω να μικρύνω το αρχείο χωρίς να χάσει πολύ σε ευκρίνεια θα το ανεβάσω και στο mathematica. Για την ώρα όσοι ενδιαφέρονται μπορούν να το βρουν στον σύνδεσμο:
http://ifile.it/y3xvmoq
Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4246
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Λογαριθμεκθετικη Εξισωση

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Κυρ Σεπ 06, 2009 8:03 pm

Χάρη στη βοήθεια του Αλέξανδρου Συγκελάκη που ανάμεσα στα άλλα πράγματα που είναι καλός είναι και δεινός κομπιουτεράς είμαι σε θέση να ανεβάσω το άρθρο του Μπάμπη Τουμάση σε ένα λογικό μέγεθος και στον δικό μας ιστότοπο: Μαυρογιάννης


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης