Ανήκουσα σε δύο φακέλους!

#1

Έστω τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ με πλευρές $\displaystyle{a,b,c,}$ ημιπερίμετρο $\displaystyle{s,}$ για το οποίο ισχύει

$\displaystyle{\sqrt{s-a}=\sqrt{s-b}+\sqrt{s-c}}$ . ( $\displaystyle{\color{red}\bigstar}$ )

$\displaystyle{\color{red}1)}$ Να αποδείξετε ότι το βαρύκεντρο $\displaystyle{G}$ του τριγώνου είναι σημείο του εγγεγραμμένου κύκλου.

$\displaystyle{\color{red}2)}$ Να βρείτε τα τρίγωνα που ικανοποιούν την ( $\displaystyle{\color{red}\bigstar}$ ) και έχουν πλευρές με ακέραια μήκη.

***Ευχαριστώ τον Σωτήρη Λουρίδα για την επισήμανση αβλεψίας.

#2

Μια απάντηση στο ερώτημα $\displaystyle{\color {red} 1)}$ :

Έχουμε διαδοχικά ότι:

$\displaystyle{\sqrt {s - a} = \sqrt {s - b} + \sqrt {s - c} \Leftrightarrow \sqrt {b + c - a} = \sqrt {c + a - b} + \sqrt {a + b - c} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow b + c - a = c + a - b + a + b - c + 2\sqrt {c + a - b} \sqrt {a + b - c} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow b + c - 3a = 2\sqrt {c + a - b} \sqrt {a + b - c} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} + 9{a^2} = 4\left[ {{a^2} - {{\left( {b - c} \right)}^2}} \right] \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} + 9{a^2} = 4{a^2} - 4{b^2} - 4{c^2} + 8bc \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow \boxed{5\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = 6\left( {ab + bc + ca} \right)}}$ $\bf \color{red} \left(\bigstar \right)$ .

Από το Θεώρημα του Leibniz, αν $\displaystyle{I}$ είναι το έγκεντρο του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ , τότε είναι:

$\displaystyle{\boxed{I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} = 3I{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}}}$ $\bf \color{red} \left(\clubsuit \right)$ .

Είναι όνως γνωστό ότι

$\boxed{\displaystyle{G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} = \frac{1}{3}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}$ $\bf \color{red} \left(1 \right)$ .

Επίσης, αν $\displaystyle{r}$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ , τότε είναι:

$\displaystyle{I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} = \frac{1}{4}\left[ {{{\left( {b + c - a} \right)}^2} + {{\left( {c + a - b} \right)}^2} + {{\left( {a + b - c} \right)}^2}} \right] + 3{r^2} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow \boxed{I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} = \frac{3}{4}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - \frac{1}{2}\left( {ab + bc + ca} \right) + 3{r^2}}}$ $\bf \color{red} \left(2 \right)$ .

Αντικαθιστώντας τις σχέσεις $\bf \color{red} \left(1 \right)$ και $\bf \color{red} \left(2 \right)$ στην $\bf \color{red} \left(\clubsuit \right)$ προκύπτει ότι:

$\displaystyle{\frac{3}{4}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - \frac{1}{2}\left( {ab + bc + ca} \right) + 3{r^2} = 3I{G^2} + \frac{1}{3}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow 5\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - 6\left( {ab + bc + ca} \right) = 36\left( {I{G^2} - {r^2}} \right)}$ $\bf \color{red} \left(\spadesuit \right)$ .

Από τη σχέση $\bf \color{red} \left(\spadesuit \right)$ προκύπτει άμεσα ότι η δοσμένη σχέση, που είναι ισοδύναμη με την $\bf \color{red} \left(\bigstar \right)$ , είναι ισοδύναμη με τη σχέση $\displaystyle{IG = r}$ , δηλαδή με το σημείο $\displaystyle{G}$ να ανήκει στον εγγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ .

#3

matha έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 05, 2012 11:52 am
Έστω τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ με πλευρές $\displaystyle{a,b,c,}$ ημιπερίμετρο $\displaystyle{s,}$ για το οποίο ισχύει

$\displaystyle{\sqrt{s-a}=\sqrt{s-b}+\sqrt{s-c}}$ . ( $\displaystyle{\color{red}\bigstar}$ )

$\displaystyle{\color{red}2)}$ Να βρείτε τα τρίγωνα που ικανοποιούν την ( $\displaystyle{\color{red}\bigstar}$ ) και έχουν πλευρές με ακέραια μήκη.

Επαναφορά!

Ανήκουσα σε δύο φακέλους!

Ανήκουσα σε δύο φακέλους!

Re: Ανήκουσα σε δύο φακέλους!

Re: Ανήκουσα σε δύο φακέλους!

Μέλη σε σύνδεση