Σύνολα
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1513
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
- Τοποθεσία: Πειραιάς
- Επικοινωνία:
Re: Σύνολα
Ας είναι είναι ένα μη κενό υποσύνολο των ακεραίων με αυτή την ιδιότητα. Θα αποδείξουμε ότι είναι ένα από τα εξής:
, , .
Καταρχήν αφού υπάρχει κάποιο και
Αν τότε αφού και γενικά αν τότε , δηλαδή
Αν τότε υπάρχουν δύο περιπτώσεις:
Το Μ να μην περιέχει άλλα στοιχεία εκτός από το . Τότε
Το Μ να περιέχει και άλλα στοιχεία μεγαλύτερα από το . Τότε ας είναι το ελάχιστο στοιχείο του συνόλου .
Ισχυρισμός
Ας υποθέσουμε ότι .
1η περίπτωση
Αν περιττός τότε (οπότε )
και ομοίως
Τώρα , οπότε και
και
και , άτοπο.
2η περίπτωση
Αν άρτιος τότε (οπότε )
Τώρα , άτοπο.
Επομένως ο ισχυρισμός αποδείχθηκε.
Εφόσον για , το θα περιέχει όλους τους περιττούς.
Από τις ισότητες και έπεται ότι το θα περιέχει όλους τους άρτιους
τους μεγαλύτερους ή ίσους του .
Τελίκά
, , .
Καταρχήν αφού υπάρχει κάποιο και
Αν τότε αφού και γενικά αν τότε , δηλαδή
Αν τότε υπάρχουν δύο περιπτώσεις:
Το Μ να μην περιέχει άλλα στοιχεία εκτός από το . Τότε
Το Μ να περιέχει και άλλα στοιχεία μεγαλύτερα από το . Τότε ας είναι το ελάχιστο στοιχείο του συνόλου .
Ισχυρισμός
Ας υποθέσουμε ότι .
1η περίπτωση
Αν περιττός τότε (οπότε )
και ομοίως
Τώρα , οπότε και
και
και , άτοπο.
2η περίπτωση
Αν άρτιος τότε (οπότε )
Τώρα , άτοπο.
Επομένως ο ισχυρισμός αποδείχθηκε.
Εφόσον για , το θα περιέχει όλους τους περιττούς.
Από τις ισότητες και έπεται ότι το θα περιέχει όλους τους άρτιους
τους μεγαλύτερους ή ίσους του .
Τελίκά
Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες