Σημεία και ευθείες
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Σημεία και ευθείες
Στο επίπεδο, θεωρούμε διαφορετικές ευθείες. Ένα σημείο λέγεται καλό αν ανήκει σε τρεις, τουλάχιστον, ευθείες.
Προσδιορίστε το μέγιστο πλήθος καλών σημείων.
Προσδιορίστε το μέγιστο πλήθος καλών σημείων.
Θανάσης Κοντογεώργης
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Σημεία και ευθείες
Θα αποδείξουμε ότι το μέγιστο πλήθος καλών σημείων είναι ίσο με .
Στο παρακάτω σχήμα έχουμε ένα παράδειγμα με καλά σημεία:
Έστω οι δοσμένες ευθείες, το σύνολο των καλών σημείων και
Θεωρούμε το σύνολο
Παρατηρούμε ότι καθένα από τα καλά σημεία ανήκει σε τουλάχιστον ευθείες , οπότε
Επίσης, σε κάθε ευθεία υπάρχουν το πολύ καλά σημεία (γιατί αν σε μια ευθεία υπήρχαν τουλάχιστον καλά σημεία, τότε καθένα από αυτά θα ανήκε και σε δύο άλλες ευθείες του , οπότε άτοπο). Άρα, είναι
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι δηλαδή
Απομένει να δειχθεί ότι δεν μπορεί να ισχύει
Έστω ότι Τότε, οι παραπάνω ανισότητες ισχύουν ως ισότητες, οπότε κάθε ευθεία περιέχει ακριβώς καλά σημεία.
Θεωρούμε το σύνολο
Επειδή κάθε ευθεία περιέχει ακριβώς καλά σημεία, είναι
Το πλήθος των υποσυνόλων είναι ίσο με και για καθένα από αυτά υπάρχει το πολύ μια ευθεία τέτοια, ώστε Άρα, είναι
Επειδή η τελευταία ανισότητα ισχύει ως ισότητα, έχουμε ότι για κάθε η ευθεία που συνδέει τα ανήκει στο σύνολο , άρα θα περιέχει και τρίτο καλό σημείο.
Έτσι, βρήκαμε ότι το σύνολο έχει την εξής ιδιότητα: Για οποιαδήποτε δύο σημεία η ευθεία που συνδέει τα περιέχει και ένα τρίτο σημείο του συνόλου Από το Θεώρημα Sylvester-Gallai, όλα τα σημεία του συνόλου θα είναι συνευθειακά, πράγμα άτοπο.
Ώστε, το μέγιστο πλήθος καλών σημείων είναι ίσο με .
Στο παρακάτω σχήμα έχουμε ένα παράδειγμα με καλά σημεία:
Έστω οι δοσμένες ευθείες, το σύνολο των καλών σημείων και
Θεωρούμε το σύνολο
Παρατηρούμε ότι καθένα από τα καλά σημεία ανήκει σε τουλάχιστον ευθείες , οπότε
Επίσης, σε κάθε ευθεία υπάρχουν το πολύ καλά σημεία (γιατί αν σε μια ευθεία υπήρχαν τουλάχιστον καλά σημεία, τότε καθένα από αυτά θα ανήκε και σε δύο άλλες ευθείες του , οπότε άτοπο). Άρα, είναι
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι δηλαδή
Απομένει να δειχθεί ότι δεν μπορεί να ισχύει
Έστω ότι Τότε, οι παραπάνω ανισότητες ισχύουν ως ισότητες, οπότε κάθε ευθεία περιέχει ακριβώς καλά σημεία.
Θεωρούμε το σύνολο
Επειδή κάθε ευθεία περιέχει ακριβώς καλά σημεία, είναι
Το πλήθος των υποσυνόλων είναι ίσο με και για καθένα από αυτά υπάρχει το πολύ μια ευθεία τέτοια, ώστε Άρα, είναι
Επειδή η τελευταία ανισότητα ισχύει ως ισότητα, έχουμε ότι για κάθε η ευθεία που συνδέει τα ανήκει στο σύνολο , άρα θα περιέχει και τρίτο καλό σημείο.
Έτσι, βρήκαμε ότι το σύνολο έχει την εξής ιδιότητα: Για οποιαδήποτε δύο σημεία η ευθεία που συνδέει τα περιέχει και ένα τρίτο σημείο του συνόλου Από το Θεώρημα Sylvester-Gallai, όλα τα σημεία του συνόλου θα είναι συνευθειακά, πράγμα άτοπο.
Ώστε, το μέγιστο πλήθος καλών σημείων είναι ίσο με .
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες