Σημεία και ευθείες

#1

Στο επίπεδο, θεωρούμε

διαφορετικές ευθείες. Ένα σημείο λέγεται καλό αν ανήκει σε τρεις, τουλάχιστον, ευθείες.
Προσδιορίστε το μέγιστο πλήθος καλών σημείων.

#2

Θα αποδείξουμε ότι το μέγιστο πλήθος καλών σημείων είναι ίσο με

.

Στο παρακάτω σχήμα έχουμε ένα παράδειγμα με

καλά σημεία:

Έστω $\displaystyle{\mathcal{L} = \left\{ {{\ell _1},{\ell _2},{\ell _3},{\ell _4},{\ell _5},{\ell _6},{\ell _7}} \right\}}$ οι δοσμένες

ευθείες, $\mathcal{P}$ το σύνολο των καλών σημείων και $\displaystyle{n = \left| \mathcal{P} \right|.}$

Θεωρούμε το σύνολο

$\displaystyle{\mathcal{X} = \left\{ {\left( {A,\ell } \right):A \in \mathcal{P},\ell \in \mathcal{L}, A \in \ell } \right\}.}$

Παρατηρούμε ότι καθένα από τα

καλά σημεία ανήκει σε τουλάχιστον

ευθείες $\ell \in \mathcal{L}$ , οπότε $\displaystyle{\left| \mathcal{X} \right| \ge 3n.}$

Επίσης, σε κάθε ευθεία $\ell \in \mathcal{L}$ υπάρχουν το πολύ

καλά σημεία (γιατί αν σε μια ευθεία $\displaystyle{\ell }$ υπήρχαν τουλάχιστον

καλά σημεία, τότε καθένα από αυτά θα ανήκε και σε δύο άλλες ευθείες του $\mathcal{L}$ , οπότε $\displaystyle{\left| \mathcal{L} \right| \ge 9,}$ άτοπο). Άρα, είναι $\displaystyle{\left| \mathcal{X} \right| \le 3 \cdot 7 = 21.}$

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι $\displaystyle{3n \le 21,}$ δηλαδή $\displaystyle{n \le 7.}$

Απομένει να δειχθεί ότι δεν μπορεί να ισχύει $\displaystyle{n = 7.}$

Έστω ότι $\displaystyle{n = 7.}$ Τότε, οι παραπάνω ανισότητες ισχύουν ως ισότητες, οπότε κάθε ευθεία $\ell \in \mathcal{L}$ περιέχει ακριβώς

καλά σημεία.

Θεωρούμε το σύνολο

$\displaystyle{\mathcal{Y} = \left\{ {\left( {\left\{ {{A_1},{A_2}} \right\},\ell } \right):\left\{ {{A_1},{A_2}} \right\} \subset \mathcal{P},\ell \in \mathcal{L} \mbox{ \ }\& \mbox{ \ } {A_1},{A_2} \in \ell } \right\}.}$

Επειδή κάθε ευθεία $\ell \in \mathcal{L}$ περιέχει ακριβώς

καλά σημεία, είναι

$\displaystyle{\left| \mathcal{Y} \right| = 7 \cdot \binom{3}{2} = 7 \cdot 3 = 21.}$

Το πλήθος των υποσυνόλων $\displaystyle{{\left\{ {{A_1},{A_2}} \right\} \subset \mathcal{P}}}$ είναι ίσο με $\displaystyle{\binom{7}{2} =21}$ και για καθένα από αυτά υπάρχει το πολύ μια ευθεία $\ell \in \mathcal{L}$ τέτοια, ώστε ${A_1},{A_2} \in \ell.$ Άρα, είναι $\displaystyle{\left| \mathcal{Y} \right|\le 21.}$

Επειδή η τελευταία ανισότητα ισχύει ως ισότητα, έχουμε ότι για κάθε $\displaystyle{{{A_1},{A_2} \in \mathcal{P}},}$ η ευθεία που συνδέει τα $\displaystyle{{{A_1},{A_2}}}$ ανήκει στο σύνολο $\mathcal{L}$ , άρα θα περιέχει και τρίτο καλό σημείο.

Έτσι, βρήκαμε ότι το σύνολο $\mathcal{P}$ έχει την εξής ιδιότητα: Για οποιαδήποτε δύο σημεία $\displaystyle{{{A_1},{A_2} \in \mathcal{P}},}$ η ευθεία που συνδέει τα $\displaystyle{{{A_1},{A_2}}}$ περιέχει και ένα τρίτο σημείο του συνόλου $\mathcal{P}.$ Από το Θεώρημα Sylvester-Gallai, όλα τα σημεία του συνόλου $\mathcal{P}$ θα είναι συνευθειακά, πράγμα άτοπο.

Ώστε, το μέγιστο πλήθος καλών σημείων είναι ίσο με

.

Σημεία και ευθείες

Σημεία και ευθείες

Re: Σημεία και ευθείες

Μέλη σε σύνδεση