Αραβική συναρτησιακή

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f (f (x)+ x f (y)) = x + f (x) y ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{Q}$ .

#2

$P(0,y)\Rightarrow f(f(0))=f(0)y$ για κάθε $y\in\mathbb{R}$ . Άρα f(0)=0.

$P(x,0)\Rightarrow \boxed{f(f(x))=x}$ , άρα η

είναι

και επί στους ρητούς.

$P(1,1)\Rightarrow f(2f(1))=1+f(1)$ . Eφαρμόζοντας την

βρίσκουμε

$P(1,f(1))\Rightarrow f(1+f(1))=1+f^2(1)$

Aπό τα δύο τελευταία, f(1)=1.

$P(1,f(y))\Rightarrow f(1+y)=1+f(y)$

Με επαγωγή προκύπτει ότι f(k)=k

για κάθε $k\in\mathbb{Z}$ .

Εφόσον $f(y)\in\mathbb{Q}$ , υπάρχει $k\in\mathbb{Z^*}$ ώστε $kf(y)\in\mathbb{Z}$

$P(k,y)\Rightarrow k+kf(y)=k+ky$ , οπότε f(y)=y.

#3

Μπορούμε να προσδιορίσουμε την

στο $\Bbb{R};$ Δεν έχω απάντηση...

#4

socrates έγραψε:Μπορούμε να προσδιορίσουμε την στο $\Bbb{R};$ Δεν έχω απάντηση...

Μπορούμε! Επίσης, μπορούμε να λύσουμε το ίδιο πρόβλημα αν $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ ...

#5

Επαναφορά!

socrates έγραψε:
socrates έγραψε:Μπορούμε να προσδιορίσουμε την στο $\Bbb{R};$ Δεν έχω απάντηση...
Μπορούμε! Επίσης, μπορούμε να λύσουμε το ίδιο πρόβλημα αν $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ ...

#6

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f (f (x)+ x f (y)) = x + f (x) y ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

Τα βήματα της λύσης:

1) f(0)=0

και

2) $\displaystyle f(x+ yf(x)) = f(x) + xf(y)$
3) viewtopic.php?p=95397#p95397

#7

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f (f (x)+ x f (y)) = x + f (x) y ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+$ .

Τα βήματα της λύσης:

1) η

είναι επί του $\mathbb{R}^+$
2) $f(x)\geq x$
3) $f(x)\leq x$ και άρα f(x)=x

Αραβική συναρτησιακή

Αραβική συναρτησιακή

Re: Αραβική συναρτησιακή

Re: Αραβική συναρτησιακή

Re: Αραβική συναρτησιακή

Re: Αραβική συναρτησιακή

Re: Αραβική συναρτησιακή

Re: Αραβική συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση