Αναδρομική ακολουθία!

#1

Να βρεθεί ο γενικός όρος της ακολουθίας $\displaystyle{\left( {{a_n}} \right)}$ που ορίζεται αναδρομικά από τις σχέσεις:

$\displaystyle{{a_1} = 1}$ και $\displaystyle{{a_{n + 1}} = 2{a_n} + n\left( {{2^n} + 1} \right)}$

για κάθε θετικό ακέραιο

.

nikoszan · #2

Η δοθείσα σχέση γράφεται ${a_{n + 1}} - \left[ {\left( {{{\left( {n + 1} \right)}^2} - \left( {n + 1} \right)} \right){2^{\left( {n + 1} \right) - 2}} - \left( {\left( {n + 1} \right) + 1} \right)} \right] =$ $2\left[ {{a_n} - \left( {\left( {{n^2} - n} \right){2^{n - 2}} - \left( {n + 1} \right)} \right)} \right] \Rightarrow {b_{n + 1}} = 2{b_n}$ ,
όπου ${b_n} = {a_n} - \left( {\left( {{n^2} - n} \right){2^{n - 2}} - \left( {n + 1} \right)} \right)$ .
Επειδή η ακολουθία $\left( {{b_n}} \right)$ είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο $\lambda = 2$ έχουμε
${b_n} = {b_1} \cdot {2^{n - 1}} \Leftrightarrow {a_n} - \left( {\left( {{n^2} - n} \right){2^{n - 2}} - \left( {n + 1} \right)} \right) =$ $\left( {{a_1} + 2} \right) \cdot {2^{n - 1}} = 3 \cdot {2^{n - 1}} \Leftrightarrow {a_n} = \left( {\left( {{n^2} - n} \right){2^{n - 2}} - \left( {n + 1} \right)} \right) + 3 \cdot {2^{n - 1}}$ $\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow {a_n} = \left( {{n^2} - n + 6} \right){2^{n - 2}} - \left( {n + 1} \right)$ .
Ν.Ζ.

#3

Το ομογενές μέρος $\displaystyle{{a_{n + 1}} = 2{a_n}$ έχει λύση $y_h(n)=A\cdot 2^n.$

Για την μη ομογενή $\displaystyle{{a_{n + 1}} = 2{a_n} + n}$ αναζητούμε μερική λύση της μορφής $y_1(n)=B\cdot n+C$
(προκύπτει y_1(n)=-n-1

)

Για την μη ομογενή $\displaystyle{{a_{n + 1}} = 2{a_n} + n2^n}$ αναζητούμε μερική λύση της μορφής $y_2(n)=(Dn^2+En+F)\cdot2^n$
καθώς το 2 είναι ρίζα της ομογενούς και επιπλέον έχουμε και τον παράγοντα

μπροστά από το 2^n.

(προκύπτει $y_2(n)=(n^2-n)2^{n-2}$ )

Τελικά, a_n=y_h(n)+y_1(n)+y_2(n)

(To Α το βρίσκουμε από την αρχική συνθήκη $\displaystyle{{a_1} = 1}.$ )

Αναδρομική ακολουθία!

Αναδρομική ακολουθία!

Re: Αναδρομική ακολουθία!

Re: Αναδρομική ακολουθία!

Μέλη σε σύνδεση