Συναρτησιακή εξίσωση

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6063
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Συναρτησιακή εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Αύγ 04, 2013 6:17 pm

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle{ f (f(x) + 2f(y)) = f(2x) + 8y + 6 ,} για κάθε x,y \in \mathbb{R}.


Θανάσης Κοντογεώργης
kostas_zervos
Δημοσιεύσεις: 1156
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 25, 2010 8:26 am
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas_zervos » Κυρ Αύγ 04, 2013 7:00 pm

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle{ f (f(x) + 2f(y)) = f(2x) + 8y + 6 ,} για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
Για x=0 , έχουμε f(f(0)+2f(y))=f(0)+8y+6\;(1).

Έστω x,y\in\mathbb{R} με f(x)=f(y) , τότε
f(0)+2f(x)=f(0)+2f(y)\Rightarrow

\Rightarrow f(f(0)+2f(x))=f(f(0)+2f(y))\overset{(1)}{\Rightarrow}f(0)+8x+6=f(0)+8y+6\Rightarrow x=y.

Άρα η f είναι 1-1.

Για y=-\dfrac{3}{4} έχουμε f\left(f(x) + 2f\left(-\dfrac{3}{4}\right)\right) = f(2x) + 8\left(-\dfrac{3}{4}\right)+ 6 \Rightarrow

\Rightarrow f(f(x)+a)=f(2x) , όπου a=2f\left(-\dfrac{3}{4}\right).

Αλλά η f είναι 1-1 , άρα f(x)=2x-a.

Αντικαθιστώντας στην αρχική έχουμε

2(2x-a+2(2y-a))-a=2(2x)-a+8y+6 \iff a=-1 , άρα f(x)=2x+1 που επαληθεύει.


Κώστας Ζερβός
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6063
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Αύγ 13, 2013 5:43 pm

kostas_zervos έγραψε:
socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle{ f (f(x) + 2f(y)) = f(2x) + 8y + 6 ,} για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
Για x=0 , έχουμε f(f(0)+2f(y))=f(0)+8y+6\;(1).

Έστω x,y\in\mathbb{R} με f(x)=f(y) , τότε
f(0)+2f(x)=f(0)+2f(y)\Rightarrow

\Rightarrow f(f(0)+2f(x))=f(f(0)+2f(y))\overset{(1)}{\Rightarrow}f(0)+8x+6=f(0)+8y+6\Rightarrow x=y.

Άρα η f είναι 1-1.

Για y=-\dfrac{3}{4} έχουμε f\left(f(x) + 2f\left(-\dfrac{3}{4}\right)\right) = f(2x) + 8\left(-\dfrac{3}{4}\right)+ 6 \Rightarrow

\Rightarrow f(f(x)+a)=f(2x) , όπου a=2f\left(-\dfrac{3}{4}\right).

Αλλά η f είναι 1-1 , άρα f(x)=2x-a.

Αντικαθιστώντας στην αρχική έχουμε

2(2x-a+2(2y-a))-a=2(2x)-a+8y+6 \iff a=-1 , άρα f(x)=2x+1 που επαληθεύει.

:coolspeak:

Σχόλιο: η επαλήθευση δεν είναι απαραίτητη.


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6063
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Ιουν 17, 2017 4:59 pm

Να δούμε και το δίδυμό του;

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+ τέτοιες ώστε \displaystyle{ f (f(x) + 2f(y)) = f(2x) + 8y + 6 ,} για κάθε x,y \in \mathbb{R}^+.


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες