ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 78

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Αύριο το πρωί ξεκινά μια νέα σχολική χρονιά για αρκετούς από μας που δουλεύουμε στη δημόσια εκπαίδευση. Εύχομαι ολόψυχα ''καλή χρονιά '' , αν και όλοι ξέρουμε ότι θα είναι πολύ δύσκολη....

Προτείνω το θέμα 122

από το αρχείο του Θάνου , πρόκειται για πανέμορφο θέμα ....

Αν $x,y,z\succ 0$ με x+y+z=xyz

, να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης

$K=\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}} +\sqrt{1+\frac{1}{y^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{z^{2}}}$

Antonis_Z · #2

Πράγματι,όμορφο και διδακτικό θέμα.

Από τη δοθείσα σχέση προκύπτει πως υπάρχει τρίγωνο(και μάλιστα οξυγώνιο,αφού x,y,z>0

)με γωνίες A,B,C

τέτοιες ώστε tanA=x,tanB=y,tanC=z

.
Σημειώνουμε ότι:α)όλες οι γωνίες κάθε τριγώνου έχουν ημίτονο θετικό
β)ισχύει ότι $1+\frac{1}{tan^2x}=\frac{1}{sin^2x}$ .(απόδειξη απλή με την αντικατάσταση $tanx=\frac{sinx}{cosx}$ )

γ)Σε κάθε τρίγωνο με γωνίες A,B,C

ισχύει $sinA+sinB+sinC\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$ .(Jensen)

Έχω,λοιπόν ότι $K=\sum\frac{1}{sinA}\geq \frac{9}{\sum sinA}\geq \frac{9}{\frac{3\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}$ ,
όπου χρησιμοποιήσαμε και την ανισότητα C-S.
Η ισότητα πιάνεται όταν πιάνεται η ισότητα στις ανισότητες jensen και c-s,δηλαδή(πηδάω της λεπτομέρειες) όταν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο ή όταν $x=y=z=\sqrt{3}$ .

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Η λύση του Αντώνη είναι ωραία , απλή .
Θα γράψω μια κάπως γεωμετρική λύση , επιπέδου Β' Λυκείου .

Η λύση μου τονίζει την ανισότητα $ab+bc+ca\geq 4\sqrt{3}E$ , μια χρήσιμη ανισότητα , βατή στην απόδειξή της. Η ισότητα ισχύει αν και μόνον αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Όπως έγραψε ο Αντώνης $K=\frac{1}{sinA}+\frac{1}{sinB}+\frac{1}{sinC}$ .

Από εκεί και μετά

$K=\frac{2R}{a}+\frac{2R}{b}+\frac{2R}{c}=2R\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)=2R\frac{ab+bc+ca}{abc}\geq 2R\frac{4\sqrt{3}E}{4RE}=2\sqrt{3}$

Η ισότητα ισχύει όπως ακριβώς έχει γράψει ο Αντώνης.

Tolis97 · #4

Θέτουμε $(a,b,c) = (\dfrac{1}{x}, \dfrac{1}{y}, \dfrac{1}{z})$ και είναι $\sum ab = 1$

Τώρα η παράσταση γίνεται:
$\displaystyle K = \sum \sqrt{1+a^2} = \sum \sqrt{\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} + a^2} \geq \sum \dfrac{3 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3} + a}{2} =$ $\displaystyle 3\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot \sum a \geq 3\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot \sum \sqrt{3(ab+bc+ca)} = 3\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 78

ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 78

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 78

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 78

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 78

Μέλη σε σύνδεση