Θεώρημα - Τύπος του Euler

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5415
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Θεώρημα - Τύπος του Euler

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Δευ Φεβ 09, 2009 11:20 pm

Στο συνημμένο βάζω μια σύντομη απόδειξη του θεωρήματος Euler με χρήση λίγης βασικής τριγωνομετρίας.Είναι πολύ σπουδαία σχέση και αξίζει να τη γνωρίζει κάθε μαθητής των ολυμπιάδων (αλλά και μαθηματικός).

Μπάμπης


Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2068
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Θεώρημα - Τύπος του Euler

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Τετ Φεβ 05, 2020 1:12 pm

Δεν υπάρχει συνημμένο ή εγώ δεν το βλέπω στον υπολογιστή μου;

Κώστας Βήττας.


Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 593
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Θεώρημα - Τύπος του Euler

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Τετ Φεβ 05, 2020 2:24 pm

Ούτε εμένα δείχνει κάτι.


Bye :')
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1836
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Θεώρημα - Τύπος του Euler

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τετ Φεβ 05, 2020 2:30 pm

Ούτε εγώ βλέπω συνημμένο.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5415
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Θεώρημα - Τύπος του Euler

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Πέμ Φεβ 06, 2020 7:28 am

Δεν θυμάμαι τι έγινε και ξεχάστηκε.

Πάντως ήταν μια απόδειξη για τον τύπο που δίνει την απόσταση OI περικέντρου και έγκεντου.

Αν την έχω ακόμα και δεν είναι σε άλλον υπολογιστή, θα την αναρτήσω.

Καλημέρα σε όλους !


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9214
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Θεώρημα - Τύπος του Euler

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Φεβ 06, 2020 8:49 am

Δίνω μία απόδειξη (όχι την κλασική). Δεν ξέρω αν εννοείς αυτό Μπάμπη.

Η AI τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο E. Φέρνω τη διάμετρο BB'. Είναι, \displaystyle B\widehat AE = B\widehat {B'}E = \frac{{\widehat A}}{2}
Τύπος Euler.png
Τύπος Euler.png (20.31 KiB) Προβλήθηκε 457 φορές
\displaystyle \frac{r}{{AI}} = \sin \frac{A}{2} = \frac{{BE}}{{2R}} = \frac{{IE}}{{2R}} \Leftrightarrow AI \cdot IE = 2Rr \Leftrightarrow {R^2} - O{I^2} = 2Rr \Leftrightarrow \boxed{OI^2=R^2-2Rr}


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5415
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Θεώρημα - Τύπος του Euler

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Πέμ Φεβ 06, 2020 8:36 pm

Γιώργο, το πιο πιθανό είναι να ήταν και η ίδια απόδειξη.
Την είχα δει σε ένα άρθρο σε περιοδικό στη Ρουμανία με τριγωνομετρία.

Σε ευχαριστώ και τα λέμε !

ΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧ


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9214
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Θεώρημα - Τύπος του Euler

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Φεβ 07, 2020 9:45 am

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Πέμ Φεβ 06, 2020 8:36 pm
Γιώργο, το πιο πιθανό είναι να ήταν και η ίδια απόδειξη.
Την είχα δει σε ένα άρθρο σε περιοδικό στη Ρουμανία με τριγωνομετρία.

Σε ευχαριστώ και τα λέμε !

ΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧ
Μπάμπη, αν το πάρουμε με όμοια τρίγωνα δεν χρειάζεται καν η τριγωνομετρία.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες