Στο R...
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan
- Λάμπρος Μπαλός
- Δημοσιεύσεις: 984
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
- Τοποθεσία: Τρίκαλα
Re: Στο R...
(1)
Η (1) για (2)
Η (2) για (3)
Η (3) για (4)
Ας υπολογίσουμε το
Η (3) για ή
- Αν , τότε η (2) για δίνει και η (4) για δίνει
Άρα η (1) για
και η (1) για
Οπότε η οποία για δίνει . Όμως η (2) για δίνει που είναι άτοπο.
Άρα .
* Έστω τώρα με
, λόγω της (2) ,
Η λοιπόν είναι στο .
H (1) για , η οποία για γίνεται :
. Από τις δύο τελευταίες προκύπτει ότι : και καθώς τα
και είναι ποσότητες μη αρνητικές, θα είναι (5)
Η (1) για και
Η (1) για
Από ,
Η για
Η για
Από , , που για δίνει
Περιττή λοιπόν η συνάρτηση και επιπλέον η
Η (1) για και
Άρα
.
Η σαφώς "επί" συνάρτηση, επομένως για κάθε
Ας υπολογίσουμε το
Η (1) για και
. Άρα ή .
Όμως η (2) για δίνει : . Αν καταλήγουμε σε άτοπο. Επομένως και .
Η (1) για και
. Η "1-1" και "επί".
H (1) για
, η οποία για δίνει :
, που σημαίνει ότι για κάθε η είναι μη αρνητική. Άρα είναι Cauchy, άρα .
Καθώς θα είναι . Άρα , που επαληθεύει την (1).
Προφανώς υπάρχει πιο σύντομη λύση, δεν ασχολήθηκα παραπάνω, οπότε θα χαιρόμουν να δω κάτι.
Η (1) για (2)
Η (2) για (3)
Η (3) για (4)
Ας υπολογίσουμε το
Η (3) για ή
- Αν , τότε η (2) για δίνει και η (4) για δίνει
Άρα η (1) για
και η (1) για
Οπότε η οποία για δίνει . Όμως η (2) για δίνει που είναι άτοπο.
Άρα .
* Έστω τώρα με
, λόγω της (2) ,
Η λοιπόν είναι στο .
H (1) για , η οποία για γίνεται :
. Από τις δύο τελευταίες προκύπτει ότι : και καθώς τα
και είναι ποσότητες μη αρνητικές, θα είναι (5)
Η (1) για και
Η (1) για
Από ,
Η για
Η για
Από , , που για δίνει
Περιττή λοιπόν η συνάρτηση και επιπλέον η
Η (1) για και
Άρα
.
Η σαφώς "επί" συνάρτηση, επομένως για κάθε
Ας υπολογίσουμε το
Η (1) για και
. Άρα ή .
Όμως η (2) για δίνει : . Αν καταλήγουμε σε άτοπο. Επομένως και .
Η (1) για και
. Η "1-1" και "επί".
H (1) για
, η οποία για δίνει :
, που σημαίνει ότι για κάθε η είναι μη αρνητική. Άρα είναι Cauchy, άρα .
Καθώς θα είναι . Άρα , που επαληθεύει την (1).
Προφανώς υπάρχει πιο σύντομη λύση, δεν ασχολήθηκα παραπάνω, οπότε θα χαιρόμουν να δω κάτι.
Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
lamprosbalos81@gmail.com
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Στο R...
Ωραία, Λάμπρο!
Πάνω κάτω έτσι είναι και η δική μου λύση.
Αφού δείξουμε ότι μπορούμε να προχωρήσουμε παρατηρώντας ότι, από την (3) και την περιττή συμμετρία,
δηλαδή όταν
Πάνω κάτω έτσι είναι και η δική μου λύση.
Αφού δείξουμε ότι μπορούμε να προχωρήσουμε παρατηρώντας ότι, από την (3) και την περιττή συμμετρία,
δηλαδή όταν
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Στο R...
Μια πολύ όμορφη λύση στο δυσκολότερο πρόβλημα
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1092855
υπάρχει εδώ:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις τέτοιες, ώστε
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1092855
Θανάσης Κοντογεώργης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες