Εκθετική ανισότητα
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Εκθετική ανισότητα
[Η γενίκευση που δίνω δεν σχετίζεται άμεσα με την ανισότητα που πρότεινε ο Σιλουανός, βλέπετε επόμενες δημοσιεύσεις.]
Ισχύει γενικότερα η όταν , , και .
Πράγματι, θέτοντας , αρκεί να δείξουμε ότι για (καθώς και η είναι αύξουσα για ).
Η παραπάνω ανισότητα ισχύει για (καθώς ), αρκεί επομένως να δείξουμε ότι είναι αύξουσα, για πάντοτε, η , ή, ισοδύναμα, η -- κάτι που ισχύει λόγω της (ισοδύναμης προς την ).
[Υποθέτω, λόγω φακέλου, ότι θα υπάρχει και κάποια λύση χωρίς παραγώγιση;]
Γιώργος Μπαλόγλου
Ισχύει γενικότερα η όταν , , και .
Πράγματι, θέτοντας , αρκεί να δείξουμε ότι για (καθώς και η είναι αύξουσα για ).
Η παραπάνω ανισότητα ισχύει για (καθώς ), αρκεί επομένως να δείξουμε ότι είναι αύξουσα, για πάντοτε, η , ή, ισοδύναμα, η -- κάτι που ισχύει λόγω της (ισοδύναμης προς την ).
[Υποθέτω, λόγω φακέλου, ότι θα υπάρχει και κάποια λύση χωρίς παραγώγιση;]
Γιώργος Μπαλόγλου
τελευταία επεξεργασία από gbaloglou σε Κυρ Δεκ 07, 2014 10:41 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Εκθετική ανισότητα
Ενδιαφέρον.gbaloglou έγραψε:Ισχύει γενικότερα η όταν , , και .
Άλλη απόδειξη αυτού, και μάλιστα με την λίγο ασθενέστερη υπόθεση στην θέση της , έχουμε
με Jensen στην κυρτή . Έλεγχος στο .
Έτσι , και λοιπά.
Φιλικά,
Μιχάλης
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Εκθετική ανισότητα
Όπως μου υποδείχτηκε με προσωπικό από ... τέταρτο μέλος του , η ανισότητα που θα ήθελα να αληθεύει είναι η και όχι η (για , , , πάντοτε).
Γιώργος Μπαλόγλου
Γιώργος Μπαλόγλου
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Εκθετική ανισότητα
Μία μάλλον ... ταλαιπωριακή λύση ... που βασίζεται σε δύο λήμματα:smar έγραψε:Αν να αποδειχθεί η ανισότητα:
Λήμμα 1: Ισχύει, για , η ανισότητα .
Απόδειξη: από προκύπτει ότι η έχει ολικό ελάχιστο στο .
Λήμμα 2: Ισχύει, για , η ανισότητα .
Απόδειξη: παρατηρώντας (πολυώνυμο Taylor) ότι συμπεραίνουμε ότι αρκεί να ισχύει η για , κάτι προφανές για που επίσης ισχύει για (καθώς , κλπ).
Για την απόδειξη της δοθείσας ανισότητας λογαριθμίζουμε τώρα αμφότερα τα σκέλη και θεωρούμε, για , την προκύπτουσα συνάρτηση
για την οποία παρατηρούμε ότι ενώ
Αρκεί συνεπώς να αποδειχθεί, για , η ανισότητα , όπου
Παρατηρούμε και πάλι ότι , ενώ
Αρκεί λοιπόν να αποδειχθεί, για , η ανισότητα
Θέτουμε τώρα
και παρατηρούμε ότι, για ,
αρκεί επομένως, για να δειχθεί η ζητούμενη για , να ισχύουν οι (Λήμμα 1) και (Λήμμα 2 με χρήση της ). (Η θετικότητα κοίλης συνάρτησης σε διάστημα εξασφαλίζεται από την θετικότητα στα άκρα του διαστήματος.)
Γιώργος Μπαλόγλου
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Εκθετική ανισότητα
Βεβαίως η ανισότητα (για ) που ... θα ήθελα να αληθεύει ... πολύ απλά δεν αληθεύει, πχ .gbaloglou έγραψε:Όπως μου υποδείχτηκε με προσωπικό από ... τέταρτο μέλος του , η ανισότητα που θα ήθελα να αληθεύει είναι η και όχι η (για , , , πάντοτε).
Γιώργος Μπαλόγλου
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Εκθετική ανισότητα
Ας πω εδώ ότι μόλις έλεγξα, πολύ προσεκτικά, την προ 5+ ετών λύση μου (#5): εξοντωτική αλλά σωστή, με εξαίρεση ένα ανώδυνο λαθάκι στην απόδειξη του Λήμματος 1 (ο αριθμητής της παραγώγου δεν είναι αλλά , οπότε το ζητούμενο ολικό ελάχιστο δεν είναι αλλά ).
Προσπάθησα και για άλλη λύση, και τότε και τώρα, αλλά δεν βρήκα κάτι.
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Εκθετική ανισότητα
Και τότε και τώρα ... μου διέφυγε, αν είναι δυνατόν, ότι απέδειξα την ανισότητα για , ... και όχι για , (όπως ξεκάθαρα ζητάει το πρόβλημα) [Μάλλον παρασύρθηκα από τις ανισότητες , , ...]gbaloglou έγραψε: ↑Τρί Απρ 07, 2020 5:34 pmΑς πω εδώ ότι μόλις έλεγξα, πολύ προσεκτικά, την προ 5+ ετών λύση μου (#5): εξοντωτική αλλά σωστή, με εξαίρεση ένα ανώδυνο λαθάκι στην απόδειξη του Λήμματος 1 (ο αριθμητής της παραγώγου δεν είναι αλλά , οπότε το ζητούμενο ολικό ελάχιστο δεν είναι αλλά ).
Προσπάθησα και για άλλη λύση, και τότε και τώρα, αλλά δεν βρήκα κάτι.
!!!
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Εκθετική ανισότητα
Μία αποτυχημένη προσπάθεια:
Θέλουμε να αποδείξουμε, όπως και παραπάνω (#5) -- αλλά για πλέον -- ότι είναι μη αρνητική η ποσότητα
Ένας τρόπος να γίνει αυτό είναι να θεωρήσουμε την παραπάνω ποσότητα ως συνάρτηση του στο διάστημα , έστω , να παρατηρήσουμε ότι είναι μη αρνητική στα άκρα του διαστήματος, και να επιχειρήσουμε να αποδείξουμε ότι είναι μη αρνητική και στο τυχόν σημείο μηδενισμού της παραγώγου
Ο μηδενισμός της παραγώγου οδηγεί στην
και με αντικατάσταση αυτής στην αρχική ποσότητα λαμβάνουμε
...Δεν θέλει και πολύ για να είναι θετική η παραπάνω ποσότητα, ΑΝ μάλιστα ήταν όλοι οι παρονομαστές ίσοι προς θα προέκυπτε άμεσα η θετικότητα της από την ανισότητα που ήδη χρησιμοποιήσαμε παραπάνω (#5) -- για βέβαια, ισχύει όμως και για . Και είναι όντως θετική για , ακόμη και για , για μεγαλύτερες όμως τιμές του έχουμε διαστήματα αρνητικότητας: στο συνημμένο βλέπετε, για , τα γραφήματα των και , το σημείο τοπικού ελαχίστου της που αντιστοιχεί στην τομή της με την , και ... το μικρό αλλά μοιραίο για την 'υπερβατική' μας προσέγγιση διάστημα αρνητικότητας της (Επίσης το διάστημα θετικότητας και κοιλότητας της που είχαμε τεκμηριώσει (#5).)
...Μία ... ένδοξη αποτυχία λοιπόν
Θέλουμε να αποδείξουμε, όπως και παραπάνω (#5) -- αλλά για πλέον -- ότι είναι μη αρνητική η ποσότητα
Ένας τρόπος να γίνει αυτό είναι να θεωρήσουμε την παραπάνω ποσότητα ως συνάρτηση του στο διάστημα , έστω , να παρατηρήσουμε ότι είναι μη αρνητική στα άκρα του διαστήματος, και να επιχειρήσουμε να αποδείξουμε ότι είναι μη αρνητική και στο τυχόν σημείο μηδενισμού της παραγώγου
Ο μηδενισμός της παραγώγου οδηγεί στην
και με αντικατάσταση αυτής στην αρχική ποσότητα λαμβάνουμε
...Δεν θέλει και πολύ για να είναι θετική η παραπάνω ποσότητα, ΑΝ μάλιστα ήταν όλοι οι παρονομαστές ίσοι προς θα προέκυπτε άμεσα η θετικότητα της από την ανισότητα που ήδη χρησιμοποιήσαμε παραπάνω (#5) -- για βέβαια, ισχύει όμως και για . Και είναι όντως θετική για , ακόμη και για , για μεγαλύτερες όμως τιμές του έχουμε διαστήματα αρνητικότητας: στο συνημμένο βλέπετε, για , τα γραφήματα των και , το σημείο τοπικού ελαχίστου της που αντιστοιχεί στην τομή της με την , και ... το μικρό αλλά μοιραίο για την 'υπερβατική' μας προσέγγιση διάστημα αρνητικότητας της (Επίσης το διάστημα θετικότητας και κοιλότητας της που είχαμε τεκμηριώσει (#5).)
...Μία ... ένδοξη αποτυχία λοιπόν
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Εκθετική ανισότητα
Ας αποδείξουμε την παραπάνω ανισότητα για .
[Την έχουμε ήδη αποδείξει για (#5 παραπάνω), οπότε απομένει -- για άλλη φορά ή/και για άλλον λύτη -- η περίπτωση .]
Αρκεί να δείξουμε ότι ισχύουν, για , οι ανισότητες
(Ι) και
(ΙΙ)
Η (Ι) είναι ισοδύναμη προς την για : αυτό είναι άμεσο από την για .
Η (ΙΙ) προκύπτει από την για με εφαρμογή στην , καθώς και .
[Ας παρατηρηθεί εδώ ότι η (ΙΙ) ισχύει χωρίς κανέναν περιορισμό πέραν του , ενώ η (Ι) ισχύει και υπό την ασθενέστερη της δοθείσας συνθήκη , καθώς είναι αλγεβρικά ισοδύναμη προς την .]
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Re: Εκθετική ανισότητα
Κατά τύχη βρήκα από πού είχα πάρει την άσκηση. https://artofproblemsolving.com/communi ... 18p3180649
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Εκθετική ανισότητα
Σιλουανέ σ' ευχαριστούμε, εμπνεόμενος από την παραπάνω 'υπερηχητική' λύση ολοκληρώνω την δική μου πιο 'γήινη' προσέγγιση ως εξής:silouan έγραψε: ↑Σάβ Αύγ 28, 2021 12:59 amΚατά τύχη βρήκα από πού είχα πάρει την άσκηση. https://artofproblemsolving.com/communi ... 18p3180649
Σύμφωνα με όσα ήδη επισημάνθηκαν (#11 κλπ), αρκεί να δειχθεί η ανισότητα για και . Θέτοντας , αρκεί να δειχθεί, για και , η ανισότητα , όπου
για και .
Εύκολα βλέπουμε ότι η είναι συνεχής και παραγωγίσιμος στο , και ισχύει επίσης η : η ανισότητα αυτή, που ισχύει ως ισότητα για , προκύπτει από την , για την οποία αρκεί να ανατρέξουμε στην που είχε ήδη αποδειχθεί (#5).
Αρκεί λοιπόν να ισχύει η για , αρκεί δηλαδή να δειχθεί -- για σταθερό -- η ανισότητα
την οποία στρατηγικά επαναγράφουμε ως
Αρκεί δηλαδή, αντικαθιστώντας -- καθώς και -- τα , με τα , , να ισχύουν οι δύο ανισότητες
και
Η πρώτη ανισότητα είναι ισοδύναμη προς την , που προκύπτει εύκολα από την . (Μη θετικές τιμές στα άκρα του , ένα και μοναδικό τοπικό ελάχιστο.)
Η δεύτερη ανισότητα επαναγράφεται ως
με την θετικότητα να προκύπτει τριωνυμικά λόγω αρνητικής διακρίνουσας .
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες