Συναρτησιακή εξίσωση

#1

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb R^+\rightarrow \mathbb R^+$ τέτοιες ώστε f(f(x)+xf(y))=xy+f(x),

για κάθε $x,y \in \mathbb R^+.$

Λάμπρος Μπαλός · #2

Τη διέγραψα τη λύση με την αντίστροφη, επικίνδυνη και πέφτει πάνω σε θεωρητικά κενά.
Θανάση θα την ξανακοιτάξω όπως σου είπα και στο μήνυμα και θα επανέλθω.

M.S.Vovos · #3

...Μια λύση ενός μαθητή στην ωραία συναρτησιακή, στο $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ ...

Για y=0

στην αρχική σχέση έχουμε:

$\displaystyle f(f(x)+xf(0))=f(x)$ , απ' όπου μπορύμε να συμπεράνουμε ότι η

είναι

.

Για

:

$f(f(0))=f(0)\overset{f:1-1}{\Leftrightarrow }f(0)=0$

Άρα, ξανά για y=0

προκύπτει ότι:

$f(f(x))=f(x)\overset{f:1-1}{\Leftrightarrow }f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$

Πόσο θα της βάζατε της λύσης;

#4

M.S.Vovos έγραψε:...Μια λύση ενός μαθητή στην ωραία συναρτησιακή, στο $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ ...

Για στην αρχική σχέση έχουμε:

$\displaystyle f(f(x)+xf(0))=f(x)$ , απ' όπου μπορύμε να συμπεράνουμε ότι η είναι .

Εδώ υπάρχει λάθος.

#5

M.S.Vovos έγραψε:...Μια λύση ενός μαθητή στην ωραία συναρτησιακή, στο $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ ...

Για στην αρχική σχέση έχουμε:

$\displaystyle f(f(x)+xf(0))=f(x)$ , απ' όπου μπορύμε να συμπεράνουμε ότι η είναι .

Για :

$f(f(0))=f(0)\overset{f:1-1}{\Leftrightarrow }f(0)=0$

Άρα, ξανά για προκύπτει ότι:

$f(f(x))=f(x)\overset{f:1-1}{\Leftrightarrow }f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$

Πόσο θα της βάζατε της λύσης;

Το 1-1 δεν προκύπτει από τη σχέση που λες. Μπορούμε όμως να το δούμε θέτοντας στην αρχική x=1.

Τα υπόλοιπα σωστά!

M.S.Vovos · #6

Πόσο θα του βάζατε (στα 10);

Λάμπρος Μπαλός · #7

M.S.Vovos έγραψε:Πόσο θα του βάζατε (στα 10);

Αν το "απ'όπου μπορούμε να συμπεράνουμε" γράφτηκε στην επίσημη λύση, εγώ από τα νεύρα μου και μόνο θα την έκοβα όλη. Ειδικά αν το συμπέρασμα είναι βασικής σημασίας και μάλιστα εσφαλμένο.

M.S.Vovos · #8

Η αλήθεια είναι ότι ο μαθητής (Παναγιώτης) ήθελε ένα διαγώνισμα. Το θέμα αυτό μαζί με κάποια άλλα ερωτήματα, το έβαλα σαν Γ Θέμα. Επειδή, ξεκίνησε πρώτα με το Α, έπειτα το Β και μετά το Δ, δεν του έμεινε αρκετός χρόνος για το Γ και το ψιλοβιάστηκε αφήνοντας κενά. Προς Θεού, νομίζω, ότι υπό αυτές τις συνθήκες κανένας μας δε θα του έκοβε όλη την άσκηση...

Η προσωπική μου άποψη είναι 6/10.

Λάμπρος Μπαλός · #9

Προφανώς Μάριε πρόκειται για υπερβολή. Πάντως θα έκοβα αρκετά. Ίσως να έδινα 3/10.

#10

socrates έγραψε:Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb R^+\rightarrow \mathbb R^+$ τέτοιες ώστε για κάθε $x,y \in \mathbb R^+.$

Επαναφορά!

Hint:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Συναρτησιακή εξίσωση

Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση