Εκθετική ανισότητα

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Εκθετική ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Πέμ Ιαν 14, 2016 6:37 pm

Αν οι θετικοί πραγματικοί a, b, c ικανοποιούν την abc=1, αποδείξτε ότι \displaystyle{\left(a+1\right)^b\left(b+1\right)^c\left(c+1\right)^a\geq8.}


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4259
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Εκθετική ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Φεβ 16, 2019 8:21 pm

silouan έγραψε:
Πέμ Ιαν 14, 2016 6:37 pm
Αν οι θετικοί πραγματικοί a, b, c ικανοποιούν την abc=1, αποδείξτε ότι \displaystyle{\left(a+1\right)^b\left(b+1\right)^c\left(c+1\right)^a\geq8.}
Επαναφορά!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3028
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εκθετική ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Φεβ 16, 2019 8:41 pm

silouan έγραψε:
Πέμ Ιαν 14, 2016 6:37 pm
Αν οι θετικοί πραγματικοί a, b, c ικανοποιούν την abc=1, αποδείξτε ότι \displaystyle{\left(a+1\right)^b\left(b+1\right)^c\left(c+1\right)^a\geq8.}
Λογαριθμούμε και γράφεται

b\log (a+1)+c\log (b+1)+a\log (c+1)\geq 3\log 2

Αλλά από γνωστό θεώρημα λόγω του ότι η \log είναι αύξουσα προκύπτει ότι

b\log (a+1)+c\log (b+1)+a\log (c+1)\geq a\log (a+1)+b\log (b+1)+c\log (c+1)(1)

Επειδή a+b+c\geq 3 και η συνάρτηση x\log (1+x) είναι κυρτή και αύξουσα η
Jensen μας δίνει το ζητούμενο

συμπλήρωμα .28-1-2020.
Η λύση είναι ΛΑΘΟΣ γιατί η ανισότητα (1) ισχύει με την ανάποδη φορά.
Ευχαριστώ τον Παύλο Τρύφων που το παρατήρησε.


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6063
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εκθετική ανισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Απρ 03, 2020 5:21 pm

Επαναφορά!


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης