Εκθετική ανισότητα

#1

Αν οι θετικοί πραγματικοί

,

ικανοποιούν την abc=1

, αποδείξτε ότι $\displaystyle{\left(a+1\right)^b\left(b+1\right)^c\left(c+1\right)^a\geq8.}$

Tolaso J Kos · #2

silouan έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 14, 2016 6:37 pm
Αν οι θετικοί πραγματικοί , , ικανοποιούν την , αποδείξτε ότι $\displaystyle{\left(a+1\right)^b\left(b+1\right)^c\left(c+1\right)^a\geq8.}$

Επαναφορά!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

silouan έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 14, 2016 6:37 pm
Αν οι θετικοί πραγματικοί , , ικανοποιούν την , αποδείξτε ότι $\displaystyle{\left(a+1\right)^b\left(b+1\right)^c\left(c+1\right)^a\geq8.}$

Λογαριθμούμε και γράφεται

$b\log (a+1)+c\log (b+1)+a\log (c+1)\geq 3\log 2$

Αλλά από γνωστό θεώρημα λόγω του ότι η $\log$ είναι αύξουσα προκύπτει ότι

$b\log (a+1)+c\log (b+1)+a\log (c+1)\geq a\log (a+1)+b\log (b+1)+c\log (c+1)$ (1)

Επειδή $a+b+c\geq 3$ και η συνάρτηση $x\log (1+x)$ είναι κυρτή και αύξουσα η
Jensen μας δίνει το ζητούμενο

συμπλήρωμα .28-1-2020.
Η λύση είναι ΛΑΘΟΣ γιατί η ανισότητα (1) ισχύει με την ανάποδη φορά.
Ευχαριστώ τον Παύλο Τρύφων που το παρατήρησε.

#4

Επαναφορά!

Εκθετική ανισότητα

Εκθετική ανισότητα

Re: Εκθετική ανισότητα

Re: Εκθετική ανισότητα

Re: Εκθετική ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση