Vojtech Jarnik 1991/1 Category I

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Vojtech Jarnik 1991/1 Category I

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Φεβ 14, 2016 4:16 pm

Να δειχθεί ότι η ακολουθία (2^n)_{n=0}^{\infty} δεν περιέχει τρεις όρους σε αριθμητική πρόοδο.


raf616
Δημοσιεύσεις: 680
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 17, 2013 4:35 pm
Τοποθεσία: Μυτιλήνη

Re: Vojtech Jarnik 1991/1 Category I

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από raf616 » Κυρ Φεβ 14, 2016 4:48 pm

Demetres έγραψε:Να δειχθεί ότι η ακολουθία (2^n)_{n=0}^{\infty} δεν περιέχει τρεις όρους σε αριθμητική πρόοδο.
Καλησπέρα κ. Δημήτρη! Μία προσπάθεια, ελπίζω χωρίς λάθος.

Έστω ότι οι αριθμοί 2^k, 2^l, 2^m με 0 \leq k < l < m βρίσκονται σε αριθμητική πρόοδο.

Τότε 2^l - 2^k = 2^m - 2^l \iff 2^{l+1} = 2^m + 2^k \iff 2^{l+1-k} - 2^{m-k} = 1.

Όμως \displaystyle{m > l \implies m \geq l+1 \iff m-k \geq l+1-k \iff 2^{l+1-k} - 2^{m-k} \leq 0 \iff 1 \leq 0}, άτοπο.

Έτσι, το ζητούμενο εδείχθη.


Πάντα κατ' αριθμόν γίγνονται... ~ Πυθαγόρας

Ψυρούκης Ραφαήλ
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Vojtech Jarnik 1991/1 Category I

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Φεβ 14, 2016 4:57 pm

raf616 έγραψε:
Demetres έγραψε:Να δειχθεί ότι η ακολουθία (2^n)_{n=0}^{\infty} δεν περιέχει τρεις όρους σε αριθμητική πρόοδο.
Καλησπέρα κ. Δημήτρη! Μία προσπάθεια, ελπίζω χωρίς λάθος.
:coolspeak:

Δεν χρειάζεται να διαιρέσεις με 2^k. Εγώ είπα: Αφού m \geqslant \ell+1 τότε 2^{\ell+1} = 2^m + 2^k \geqslant 2^{\ell+1} + 2^k > 2^{\ell}+1, άτοπο.

Στην επίσημη λύση λέει: 2^{\ell+1} = 2^k(2^{m-k}+1). Επειδή m-k \geqslant 2 ο 2^{m-k}+1 είναι περιττός. Επειδή όμως \ell+1 > k ο ο 2^{m-k}+1 είναι άρτιος. Άτοπο.

Ίσως τελικά να έπρεπε να την βάλω στους juniors.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης