Vojtech Jarnik 1992/2 Category II

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Vojtech Jarnik 1992/2 Category II

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Φεβ 16, 2016 5:56 pm

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} οι οποίες ικανοποιούν την εξίσωση

\displaystyle{xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y)}

για κάθε x,y \in \mathbb{R}.


maiksoul
Δημοσιεύσεις: 607
Εγγραφή: Παρ Αύγ 30, 2013 12:35 am
Τοποθεσία: ΚΕΡΚΥΡΑ

Re: Vojtech Jarnik 1992/2 Category II

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από maiksoul » Τρί Φεβ 16, 2016 10:34 pm

Καλησπέρα σε όλους !

Μια προσέγγιση , ελπίζω να μαι σωστός .
Demetres έγραψε:Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} οι οποίες ικανοποιούν την εξίσωση

\displaystyle{xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y)}\;\;\;\;(1)

για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
Από την αρχική ισότητα , παίρνουμε:

\displaystyle{ 
x = 0\,\,:\,\,(1) \Rightarrow \,\,y\,f(0) = y\,f(0)\,f(y) \Rightarrow \,\,\,\,f(0) = 0\,\,\,\, \vee \,\,\,\,\,f(y) = 1\,\,\,\,\forall y \ne 0\,\,\,\,(2) 
}

ακόμα

\displaystyle{ 
y = x:\,\,(1) \Rightarrow 2\,x\,f(x) = 2\,x\,f^{\,2\,} (\,x\,)\,\, \Rightarrow \,\,\,\forall x \ne 0\,\,:\,\,\,\,f(x) = 0\,\,\,\, \vee \,\,\,\,\,\,f(x) = 1\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\, 
}

Έχουμε λοιπόν τις περιπτώσεις :

\displaystyle{ 
 \bullet f(0) \ne 0\,\,\,\,\,\,\,(2)\,\, \Rightarrow \,\,f(x) = 1\,\,\,\forall x \ne 0\,\,\, 
}

οπότε προκύπτουν οι συναρτήσεις με μορφή :

\displaystyle{ 
f(x) = \left\{ {_{1,\,\,\,\,x \ne 0}^{c,\,\,\,\,x = 0} } \right.\,\,\,\,,\,\,c \in \Re ^*  
}

οι οποίες επαληθεύουν την (1)


\displaystyle{ 
 \bullet f(0) = 0\,\, 
}

τότε έχουμε τις υποπεριπτώσεις από την (3) :

i) \displaystyle{ 
\exists k \ne 0:\,\,f(k) = 0\,\,\, 
} τότε προκύπτει:

\displaystyle{ 
x = k\,\,\,:\,\,\,\,(1) \Rightarrow kf(y) = 0 \Rightarrow \,\,f(y) = 0\,\,\,\,\forall y \in \Re \,\, 
}

δηλαδή έχουμε την συνάρτηση \displaystyle{ 
f(x) = 0\,\,\,\forall x \in \Re \,\, 
} η οποία επαληθεύει την (1)

ii) διαφορετικά προκύπτει : \displaystyle{ 
f(x) = 1\,\,\,\,\forall x \ne 0\,\, 
} και σχηματίζεται η συνάρτηση \displaystyle{ 
f(x) = \left\{ {_{1,\,\,\,\,x \ne 0}^{0,\,\,\,\,x = 0} } \right. 
}

η οποία επαληθεύει την (1)

Ανακεφαλαιώνοντας οι συναρτήσεις που προκύπτουν είναι :


\displaystyle{ 
f(x) = 0\,\,\,\forall x \in \Re \,\,,\,\,\,\,f(x) = \left\{ {_{1,\,\,\,\,x \ne 0}^{c,\,\,\,\,x = 0} } \right.\,\,\,\,,\,\,c \in \Re  
}


ΣΟΥΛΑΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης