Vojtech Jarnik 1993/3 Category I

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8243
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Vojtech Jarnik 1993/3 Category I

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Φεβ 22, 2016 3:43 pm

Να εξεταστεί αν υπάρχει 1-1 συνάρτηση f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} η οποία να ικανοποιεί την ανισότητα

\displaystyle{ f(x^2) - (f(x))^2 \geqslant \frac{1}{4}}

για κάθε x \in \mathbb{R}.

Επεξεργασία: Έγινε διόρθωση στην εκφώνηση. Ευχαριστώ τον Βαγγέλη Μουρούκο που το πρόσεξε.


raf616
Δημοσιεύσεις: 680
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 17, 2013 4:35 pm
Τοποθεσία: Μυτιλήνη

Re: Vojtech Jarnik 1993/3 Category I

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από raf616 » Δευ Φεβ 22, 2016 8:12 pm

Καλησπέρα! Μου φάνηκε απλή:

Η συνθήκη γράφεται 4f^2(x) - 4f(x^2) + 1 \leq 0. Για x=0 παίρνουμε (2f(0)-1)^2 \leq 0 \implies f(0) = 1/2 και όμοια για x=1 παίρνουμε f(1)=1/2, άτοπο αφού η

f είναι 1-1. Άρα, δεν υπάρχει συνάρτηση με τις ζητούμενες ιδιότητες.


Πάντα κατ' αριθμόν γίγνονται... ~ Πυθαγόρας

Ψυρούκης Ραφαήλ
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης