εκθετική εξίσωση στους ακέραιους

Ανδρέας Πούλος · #1

Να επιλυθεί στο σύνολο των ακεραίων η εξίσωση με αγνώστους

,

.

.

Ανδρέας Πούλος

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Καλησπέρα

$2^{x}+3^{x}> 0$ άρα xy> 0

Αφού είναι ομόσημοι:
Αν είναι και οι δύο αρνητικοί τότε $2^{x}+3^{x}\leq \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}$
ενώ $11xy\geq 11(-1)(-1)=11$
Άρα x,y

θετικοί.
Παίρνουμε
$2^x+3^x\equiv 11xy(mod2)\Leftrightarrow 1\equiv xy(mod2)$ άρα x,y

περιττοί.
Έστω x=2a+1

και $2^x+3^x\equiv 11xy(mod5)\Leftrightarrow 2^{2a+1}+3^{2a+1}\equiv xy(mod5)\Leftrightarrow 2\cdot (-1)^a+3\cdot (-1)^a\equiv xy(mod5)\Leftrightarrow 5(-1)^a\equiv xy(mod5)\Leftrightarrow xy\equiv 0(mod5)$

Αν $x\equiv0(mod5)$ , έστω x=5k

.
Είναι

άρα

περιττός ,έστω k=2c+1

$2^x+3^x\equiv 11xy(mod11)\Leftrightarrow 2^{5k}+3^{5k}\equiv 0(mod11)\Leftrightarrow 2^{5(2c+1)}+3^{5(2c+1)}\equiv 0(mod11)\Leftrightarrow 32\cdot (-1)^{2c+1}+243\cdot {2c+1}\equiv 0(mod11)\Leftrightarrow (-1)(-1)+(-1)(-1)\equiv 0(mod11)\Leftrightarrow 2\equiv 0(mod11)$ άτοπο.

Η λύση έχει λάθος.

#3

Πρόδρομε, για κοίταξε τι γίνεται στην περίπτωση x=y=5

.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #4

Καλησπέρα σας κύριε Μιχάλη.

Ενώ έγραφα την άσκηση κατά λάθος πάτησα υποβολή...και μετά δεν μου εμφάνιζε την επιλογή της διαγραφής...Όπως με ενημέρωσαν με προσωπικό μήνυμα έχω λάθος στα μόντουλο.Θα το ξανακοιτάξω αύριο.

Ορέστης Λιγνός · #5

Ανδρέας Πούλος έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 18, 2016 12:32 am
Να επιλυθεί στο σύνολο των ακεραίων η εξίσωση με αγνώστους , .

.

Ανδρέας Πούλος

Η ΛΥΣΗ ΕΧΕΙ ΛΑΘΟΣ

Πρέπει, $11 \mid 2^x+3^x$ . Ακόμη, αν ο

είναι άρτιος, τότε $2 \mid x \mid 2^x+3^x \equiv 1 \pmod 2$ , άτοπο.

Είναι, $2^{10}, 3^{10} \equiv 1 \pmod {11}$ , από το μικρό Θεώρημα του Fermat, οπότε είναι λογικό να υπολογίσουμε το $x \pmod {10}$ .

Έστω, $x=10k+\ell$ με $\ell \leqslant 9$ .

Είναι, $11 \mid 2^{10k+\ell}+3^{10k+\ell} \Rightarrow 11 \mid 2^{\ell}+3^{\ell}$ , και με δοκιμές, $\ell=5$ , οπότε x=10k+5

.

Αν, $k=0 \Rightarrow x=5$ , που δίνει y=5

.

Αν $k \geqslant 1$ , τότε:

$\bullet$ Αν το

δεν διαιρεί το

, τότε $\upsilon_{5} (2^x+3^x)=\upsilon_{5} (x)$ .

Έστω, ότι $5^{q} || x$ , οπότε (έχω θέσει x=5^qm

) $5^q || (2^{5^q})^m+(3^{5^q}})^m$ .

Είναι, (προφανές αφού ο $m \mid x$ είναι περιττός) ότι $\displaystyle 2^{5^q}+3^{5^q} \mid (2^{5^q})^m+(3^{5^q})^m$ .

Θα δείξω το εξής Λήμμα, το οποίο μας δίνει το επιθυμητό άτοπο :

Λήμμα

Για κάθε θετικό ακέραιο

, ισχύει $5^{a+1} || 2^{5^a}+3^{5^a}$ .

Απόδειξη

Θα το δείξω επαγωγικά.

Για k=1

, ισχύει.

Έστω πως ισχύει για a=k

. Θα το δείξω για a=k+1

.

Έστω, $2^{5^a}=s, 3^{5^a}=t$ .

Αρκεί να δείξω ότι $5^{k+2} || s^5+t^5$ .

Όμως, s^5+t^5=(s+t)(s^4-s^3t+s^2t^2-st^3+t^4)

και :

$5^{k+1} || s+t$ και άρα $t \equiv -s \pmod {25}$ , οπότε $s^4-s^3t+s^2t^2-st^3+t^4 \equiv 5s^4 \pmod {25}$ , δηλαδή ο αριθμός

διαιρείται από το

, και όχι από το

, οπότε το Λήμμα δείχτηκε.

Πίσω στην άσκηση, από το Λήμμα, $5^{q+1} \mid 2^{5^q}+3^{5^q} \mid \displaystyle (2^{5^q})^m+(3^{5^q})^m$ , άτοπο.

$\bullet$ Αν το

διαιρεί το

, τότε είναι $5^{q+1} ||xy$ , οπότε 5^1 ||y

, συνεπώς $5^{q+1} ||(2^{5^q})^m+(3^{5^q})^m$ .

Θέτω $2^{5^q}=s, 3^{5^q}=t$ και αφού (Λήμμα) $5^{q+1} ||s+t$ , πρέπει το

να μην διαιρεί το $s^{m-1}+s^{m-2}t+ \ldots+t^{m-1}$ .

Όμως, $s^{i}t^{m-1-i}+s^{i-1}t^{m-i}=s^{i-1}t^{m-1-i}(s+t) \equiv 0 \pmod 5$ , για κάθε

, οπότε έχουμε άτοπο.

Τελικά, μόνη λύση η (5,5)

.

Η ΛΥΣΗ ΕΧΕΙ ΛΑΘΟΣ

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #6

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 02, 2019 10:23 pm
....
$32\cdot (-1)^{2c+1}+243\cdot {2c+1}\equiv 0(mod11)\Leftrightarrow (-1)(-1)+(-1)(-1)\equiv 0(mod11)\Leftrightarrow 2\equiv 0(mod11)$ άτοπο.

Το λάθος το έχω εδώ,αλλά ακόμη και να μην το έκανα θα είχα $0\equiv 0(mod11)$ το οποίο δεν λέει τίποτα.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #7

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 03, 2019 9:29 am

Πρέπει το να μην διαιρεί το $s^{m-1}+s^{m-2}t+ \ldots+t^{m-1}$ .

Ορέστη νομίζω ότι έχεις κάνει λάθος εδώ. Το s^m+t^m

δεν έχει τον παράγοντα $s^{m-1}+s^{m-2}t+ \ldots+t^{m-1}$ .

Υ.Γ Άλλωστε η λύση (5, 5)

δεν είναι μοναδική...

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #8

Η συγκεκριμένη άσκηση μάλιστα είναι αδύνατον να λυθεί:

Πρακτικά θέλουμε όλα τα

, ώστε

.

Εκτός του ότι επαληθεύουν όλα τα

, τέτοια ώστε x=5^l

,

(από LTE αποδεικνύεται εύκολα), ταυτόχρονα επαληθεύουν όλα τα

της μορφής $x=11^k\cdot 5^l$ , $k\geq 0$ , l>0

.

Και όχι μόνο! Επειδή υπάρχουν πρώτοι που να διαιρούν όρους της μορφής 2^a+3^a

, έχουμε και λύσεις όπως $x=1201\cdot 25$ !!

Και επειδή μάλλον δεν μπορούμε να ελέγξουμε τους πρώτους που να διαιρούν όρους της μορφής 2^a+3^a

, η άσκηση νομίζω είναι αδιέξοδο

Ορέστης Λιγνός · #9

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 03, 2019 2:20 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 03, 2019 9:29 am

Πρέπει το να μην διαιρεί το $s^{m-1}+s^{m-2}t+ \ldots+t^{m-1}$ .

Ορέστη νομίζω ότι έχεις κάνει λάθος εδώ. Το δεν έχει τον παράγοντα $s^{m-1}+s^{m-2}t+ \ldots+t^{m-1}$ .

Υ.Γ Άλλωστε η λύση δεν είναι μοναδική...

Ωχ! Έχεις δίκιο Διονύση! Βλέπω επίσης ότι υπάρχουν πολλές ακόμα λύσεις εκτός της (5,5)

, οπότε ακόμα ανοιχτό το πρόβλημα ...

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #10

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 03, 2019 2:57 pm
οπότε ακόμα ανοιχτό το πρόβλημα ...

Δεν νομίζω ότι μπορεί να λυθεί, αλλά τέλος πάντων...

min## · #11

Και επειδή μάλλον δεν μπορούμε να ελέγξουμε τους πρώτους που να διαιρούν όρους της μορφής 2^a+3^a

..και επειδή αυτοί,από Zsigmondy είναι άπειροι και δεν υπακούν σε κάποιο γνωστό pattern..

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #12

min## έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 03, 2019 4:06 pm

Και επειδή μάλλον δεν μπορούμε να ελέγξουμε τους πρώτους που να διαιρούν όρους της μορφής 2^a+3^a
..και επειδή αυτοί,από zsigmondy είναι άπειροι και δεν υπακούν σε κάποιο γνωστό pattern..

Ναι ακριβώς. Βασικά το

πρέπει να διαιρείται με το 5, αλλά και πάλι το Zsigmondy αποδεικνύει ότι το πρόβλημα δεν μπορεί να λυθεί!

εκθετική εξίσωση στους ακέραιους

εκθετική εξίσωση στους ακέραιους

Re: εκθετική εξίσωση στους ακέραιους

Re: εκθετική εξίσωση στους ακέραιους

Re: εκθετική εξίσωση στους ακέραιους

Re: εκθετική εξίσωση στους ακέραιους

Re: εκθετική εξίσωση στους ακέραιους

Re: εκθετική εξίσωση στους ακέραιους

Re: εκθετική εξίσωση στους ακέραιους

Re: εκθετική εξίσωση στους ακέραιους

Re: εκθετική εξίσωση στους ακέραιους

Re: εκθετική εξίσωση στους ακέραιους

Re: εκθετική εξίσωση στους ακέραιους

Μέλη σε σύνδεση