ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ 12

kwstas12345 · #1

Άν x,y,z θετικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα 1 να δείξετε ότι:

$\sum{\frac{x^{8}}{y^{4}+z^{4}}}\geq \frac{xyz}{2}$

chris · #2

Απο την ανισότητα Adreescu έχουμε:

$\displaystyle \sum{\frac{x^{8}}{y^{4}+z^{4}}}\geq\frac{(x^4+y^4+z^4)^{2}}{2(x^{4}+y^{4}+z^{4})}=\frac{x^4+y^4+z^4}{2}$

Αρκεί να δείξουμε οτι:
$x^4+y^4+z^4\geq xyz$
Ομογενοποιούμε την ανισότητα και έχουμε:
$x^4+y^4+z^4\geq xyz(x+y+z)$
Όμως $x^4+y^4+z^4\geq x^{2}y^2+y^2z^2+x^2z^2$

και $x^{2}y^2+y^2z^2+x^2z^2\geq xyz(x+y+z)$

και οι δύο εφαρμογές της γνωστής $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$

Dimitris X · #3

Από andreescu αρκεί:
$x^4+y^4+z^4 \ge xyz \Longleftrightarrow x^4+y^4+z^4 \ge xyz(x+y+z) \Longleftrightarrow 2(x^4+y^4+z^4)\ge x^2yz+x^2zx+y^2xz+y^2zx+z^2xy+z^2yx$

που ισχύει από muirihead.....

edit:με πρόλαβε ο Χρήστος με παρόμοια λύση σχεδόν

Nick1990 · #4

kwstas12345 έγραψε:Άν x,y,z θετικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα 1 να δείξετε ότι:

$\sum{\frac{x^{8}}{y^{4}+z^{4}}}\geq \frac{xyz}{2}$

Cauchy Swartz:

$LHS \geq \frac{(x^4 + y^4 + z^4)^2}{2(x^4 + y^4 + z^4)} = \frac{1}{2}(x^4 + y^4 + z^4) \geq \frac{1}{2}(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2) = \frac{1}{2}((xy)^2 + (xz)^2 + (yz)^2) \geq \frac{1}{2}(xyxz + yzxz + yzxy) = \frac{xyz}{2}(x + y + z) = \frac{xyz}{2}$

Μια συμβουλη, οταν θελεις να κατασκευασεις μια ανισοτητα, μην βαζεις μεσα πολλες εφαρμογες γνωστων ανισοτητων, γιατι τοτε η ανισοτητα γινεται χαλαρη και αρκετα ευκολη. Η Δυσκολια μιας ανισοτητας δεν κρυβεται στο "ποσες διαφορετικες εξυπνες ανισοτητες χρησημοποιουνται", αλλα στο ποσο κοντα βρησκεται το ενα μελος στο αλλο: οσο πιο κοντα βρησκονται τα 2 μελη, τοσο δυσκολευει η ανισοτητα, οσο ομως ο αριθμος των ανισοτικων σχεσεων μεταξυ των δυο μελων αυξανεται, τοσο απομακρυνεται το ενα μελος απο το αλλο και η ανισοτητα γινεται ολο και πιο ευκολη.

Edit: 2 λεπτα ποστ και μεσα σε αυτο το χρονικο διαστημα μπηκαν αλλες 2 λυσεις!

ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ 12

ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ 12

Re: ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ 12

Re: ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ 12

Re: ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ 12

Μέλη σε σύνδεση