άλλη μία ανισότητα-δύσκολη

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

Dimitris X
Δημοσιεύσεις: 243
Εγγραφή: Τρί Ιουν 23, 2009 10:51 pm

άλλη μία ανισότητα-δύσκολη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Dimitris X » Πέμ Αύγ 05, 2010 2:28 am

a,b,c \in \mathbb{R_+}.Νδο
\sum_{cyc}(2+\frac{a}{b})^2 \ge \frac{9(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}

Από Pham Kim Hung


Dimitris X
Δημοσιεύσεις: 243
Εγγραφή: Τρί Ιουν 23, 2009 10:51 pm

Re: άλλη μία ανισότητα-δύσκολη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Dimitris X » Σάβ Αύγ 21, 2010 2:43 pm

Κανένας???


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8447
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: άλλη μία ανισότητα-δύσκολη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Αύγ 21, 2010 9:23 pm

Για να κάνω μια προσπάθεια:

Πολλαπλασιάζοντας τις δυο πλευρές με a^2b^2c^2(ab+bc+ca) αρκεί να δείξω ότι

\displaystyle{ \sum_{cyc} (5a^4bc^3 + a^5bc^2 + a^5c^3) \geqslant \sum_{cyc} (5a^4b^2c^2 + 2a^3b^3c^2)}

Από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου έχουμε

(1) \displaystyle{ a^4bc^3 + a^5bc^2 + a^3b^4c \geqslant 3a^4b^2 c^2} και άρα \displaystyle{ \sum_{cyc} (2a^4bc^3 + a^5bc^2) \geqslant 3\sum_{cyc} a^4b^2c^2 }

(2) \displaystyle{ a^3b^4c + a^5c^3 \geqslant 2a^4b^2c^2} και άρα \displaystyle{ \sum_{cyc} (a^4bc^3 + a^5c^3) \geqslant 2\sum_{cyc} a^4b^2c^2 }

(3) \displaystyle{ 2a^4bc^3 + 4a^3b^4c + ab^3c^4 \geqslant 7a^3b^3c^2} και άρα \displaystyle{ 2\sum_{cyc} a^4bc^3 \geqslant 2\sum_{cyc} a^3b^3c^2 }

Προσθέτοντας τις (1),(2) και (3) παίρνουμε το ζητούμενο αποτέλεσμα.


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6260
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: άλλη μία ανισότητα-δύσκολη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Κυρ Αύγ 22, 2010 12:03 pm

Όντως, η προταθείσα ανισότητα υπάρχει στο βιβλίο του Pham Kim Hung, Secrets in Inequalities σελ. 180. Βλέποντας τη λύση που υπάρχει εκεί, ''απελπίστηκα'' και δεν επιχείρησα να βρω κάτι απλούστερό. :mrgreen:


Μάγκος Θάνος
Dimitris X
Δημοσιεύσεις: 243
Εγγραφή: Τρί Ιουν 23, 2009 10:51 pm

Re: άλλη μία ανισότητα-δύσκολη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Dimitris X » Κυρ Αύγ 22, 2010 2:04 pm

matha έγραψε:Όντως, η προταθείσα ανισότητα υπάρχει στο βιβλίο του Pham Kim Hung, Secrets in Inequalities σελ. 180. Βλέποντας τη λύση που υπάρχει εκεί, ''απελπίστηκα'' και δεν επιχείρησα να βρω κάτι απλούστερό. :mrgreen:
xaxaxa ακριβώς μια από τα ίδια....
Δείτε και εδώ
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 1&t=279637


Άβαταρ μέλους
chris
Δημοσιεύσεις: 1176
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 11, 2010 9:39 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα - Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: άλλη μία ανισότητα-δύσκολη

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris » Παρ Αύγ 27, 2010 1:07 pm

Μία λύση απο τον Γιώργο Μπασδέκη στο συνημμένο.
Συνημμένα
Inequality from mathematica.gr _2_.pdf
(253.45 KiB) Μεταφορτώθηκε 61 φορές


Στραγάλης Χρήστος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες