Γωνία σε ισοσκελές τρίγωνο

#1

Να βρεθεί η $\theta$ αν στο παρακάτω σχήμα ισχύει $\angle DAB = \theta$ , $\angle DBA = 2\theta$ , $\angle DBC = 5\theta$ , $\angle DCB = 3\theta$ και $\angle DCA = 4\theta$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

christodoulou · #2

Έχουμε $\angle ABC +\angle BAC +\angle ACB = 180^{o}$ οπότε $\angle DAC +15\theta = 180^{o}$ .
Αν $\theta > 12^{ο}$ προκύπτει $\angle DAC < 0$ .
Αν $0<\theta < 12^{ο}$ έχουμε $\angle DAC =180^{ο}-15\theta$ .
Ισχύει : $\angle ADB + \angle ADC + \angle BDC =360$ , άρα $0<\theta < 12^{ο}$

#3

christodoulou έγραψε:... άρα $0<\theta < 12^{ο}$

Αυτά που γράφεις είναι σωστά, αλλά και πολύ απλά. Σίγουρα όχι για άσκηση που έχει τοποθετηθεί στον φάκελο των διαγωνισμών σε επίπεδο Seniors.

Μπορούμε να βρούμε ακριβώς τη τιμή της γωνίας.

Γράφω με απόκρυψη την απάντηση.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#4

Λίγο συνοπτικά λόγω ώρας:

Από τριγωνομετρική μορφή Ceva έχουμε (επιτρέψτε μου αντί του $\displaystyle{\theta}$ να γράφω $\displaystyle{x}$ )

$\displaystyle{\sin 2x\sin 3x\sin 15x=\sin x\sin 5x\sin 4x\implies }$

$\displaystyle{\sin x\sin x(3-4\sin ^2 x)\sin 5x(3-4\sin ^2 5x)=\sin x\sin 5x(2\sin 2x\cos 2x)}$ ,

οπότε επειδή $\displaystyle{\sin x\sin 5x\ne 0}$

$\displaystyle{(3-4\sin ^2 x)(3-4\sin ^2 5x)=2\cos 2x\implies }$

$\displaystyle{1+4\cos 2x\cos 10x+2\cos 10x=0\implies}$

$\displaystyle{(2\cos 6x-1)(2\cos x+2\cos 2x+2\cos 3x +1 )=0\implies}$

$\displaystyle{6x=60^0 \implies x=10^0.}$

Γωνία σε ισοσκελές τρίγωνο

Γωνία σε ισοσκελές τρίγωνο

Re: Γωνία σε ισοσκελές τρίγωνο

Re: Γωνία σε ισοσκελές τρίγωνο

Re: Γωνία σε ισοσκελές τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση