Από το GMB - 5/2015

#1

Στο σχήμα μας δίνεται τρίγωνο ABC

, το μέσο

του ύψους

, τα σημεία K,L

της ευθείας

, ώστε οι

γωνίες BAK,CAL

να είναι ορθές και το μέσο

του

.

Να αποδειχθεί ότι η

περνάει από το περίκεντρο

του τριγώνου ABC

.

Μπ

: GM 5 -2015.PNG (16.63 KiB) Προβλήθηκε 1454 φορές

#2

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Στο σχήμα μας δίνεται τρίγωνο , το μέσο του ύψους , τα σημεία της ευθείας , ώστε οι

γωνίες να είναι ορθές και το μέσο του .

Να αποδειχθεί ότι η περνάει από το περίκεντρο του τριγώνου .

Μπ

Για μια καλησπέρα στον αγαπητό φίλο Μπάμπη

: 1.png (26.57 KiB) Προβλήθηκε 1395 φορές

Από $\angle LAC = \angle KAB = {90^0} \Rightarrow EC,BF$ διάμετροι του κύκλου $\left( O \right)$ , με $E \equiv AL \cap \left( O \right),E \ne A\,\,\& \,\,F \equiv AK \cap \left( O \right),F \ne A\,$ , οπότε το τετράπλευρο

είναι ορθογώνιο και συνεπώς $EF\parallel LK$ . Από το Θεώρημα της κεντρικης δέσμης $A.LNK\mathop \Rightarrow \limits^{EF\parallel LK} P$ το μέσο της με $P \equiv AN \cap EF$ και με το μέσο (και) της

από το τρίγωνο $\vartriangle EFB \Rightarrow OP\parallel EB\mathop \Rightarrow \limits^{EB \bot BC \Rightarrow EB\parallel AD} OP \bot AD \Rightarrow PT\parallel AD$ , με $T \equiv OP \cap BC$ .

Με το κέντρο του ορθογωνίου από (κεντρική συμμετρία) προκύπτει ότι το μέσο (και) του .

Τέλος με $\left\{ \begin{gathered} AD\parallel PT \hfill \\ \frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{OP}}{{OT}} \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{\alpha \nu \tau \iota \sigma \tau \rho o\varphi o\,\,\kappa \varepsilon \nu \tau \rho \iota \kappa \eta \varsigma \,\,\delta \varepsilon \sigma \mu \eta \varsigma } DT,MO,AP$ συγκλίνουν στο ίδιο σημείο οπότε διέρχεται από το $AP\cap DT\equiv N$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Grigoris K. · #3

Καλησπέρα κ. Μπάμπη. Δίνω μια ιδέα:

Έστω P,Q

τα σημεία τομής των AL,AK

με τον κύκλο (O)

. Οι διάμετροι PC, BQ

τέμνονται στο

. Επίσης ισχύει $\displaystyle{ \angle PAB = \angle QAC }$

άρα το $\displaystyle{ PBCQ }$ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Άρα η $\displaystyle{ AN }$ τέμνει την $\displaystyle{ PQ }$ στο μέσο της, έστω $\displaystyle{ R }$ . Έστω $\displaystyle{ Z }$ το μέσο της $\displaystyle{ BC }$ . Φανερά

τα $\displaystyle{ OR \perp PQ }$ και $\displaystyle{ OZ \perp BC }$ άρα τα $\displaystyle{ R,O,Z }$ είναι συνευθειακά. Επίσης λόγω του ορθογωνίου $\displaystyle{ PBCQ}$ ισχύει $\displaystyle{ OR = OZ}$ .

Τέλος από το Θ. Κεντρικής Δέσμης έπεται ότι η $\displaystyle{ NO }$ διέρχεται από το $\displaystyle{ M }$ .

Antonis_Z · #4

Δίνω κι εγώ μια σκέψη-μετά από καιρό.Η ιδέα μου μοιάζει(στο τελείωμα) αρκετά με τις δύο προηγούμενες.

Θεωρώ

το αντιδιαμετρικό του

,

το μέσο της

και $P\equiv OT\cap AN$ .
Τα τρίγωνα $\vartriangle AKL,A'BC$ είναι όμοια κι έχουν τις αντίστοιχες πλευρές του παράλληλες,άρα οι διάμεσοι AN,A'T

είναι κι αυτές παράλληλες.Έπειτα,αφού OA=OA'

,έπεται ότι OT=OP

(απ'το θεώρημα του Θαλή).
Τέλος,το ζητούμενο προκύπτει απ το θεώρημα της κεντρικής δέσμης...

Από το GMB - 5/2015

Από το GMB - 5/2015

Re: Από το GMB - 5/2015

Re: Από το GMB - 5/2015

Re: Από το GMB - 5/2015

Μέλη σε σύνδεση