ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ- ΕΝΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΥ.

#1

Σκοπός της δημοσίευσης αυτής είναι, με την Πρόταση που δίνουμε παρακάτω για απόδειξη, να κάνουμε γνωστή στους φίλους, μια ωραία και μαγευτική ιδιότητα που έχει ένα σημαντικό σταθερό σημείο τριγώνου, την οποία έχουμε επινοήσει προ πέντε ετών περίπου.

« 10ι(125). Τα τρία παράλληλα τμήματα στις αντίστοιχες πλευρές τριγώνου, που έχουν τα άκρα τους στις πλευρές του τριγώνου αυτού και περνούν από το ισοτομικό του έγκεντρου του αντισυμπληρωματικού τριγώνου του τριγώνου αναφοράς , είναι τρία τμήματα ίσα».

[Λεπτομέρειες και σχήμα, για την Πρόταση 10ι(125), δίνουμε στο παρακάτω συνημμένο μας 24].

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

#2

ΝΙΚΟΣ έγραψε:ΠΡΟΤΑΣΗ. - Τα τρία παράλληλα τμήματα στις αντίστοιχες πλευρές τριγώνου, που έχουν τα άκρα τους στις πλευρές του τριγώνου αυτού και περνούν από το ισοτομικό του έγκεντρου του αντισυμπληρωματικού τριγώνου του τριγώνου αναφοράς, είναι τρία τμήματα ίσα.

$\bullet$ Μερικοί απαραίτητοι ορισμοί :

Έστω $\bigtriangleup ABC$ το δοσμένο τρίγωνο και $L,\ M,\ N$ αντιστοίχως, τα μέσα των πλευρών του $BC,\ AC,\ AB.$

Οι δια των κορυφών $A,\ B,\ C$ παράλληλες ευθείες, προς τις απέναντι πλευρές του $\bigtriangleup ABC,$ ορίζουν τεμνόμενες ανά δύο, το τρίγωνο έστω $\bigtriangleup A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ με $B^{\prime}C^{\prime}\parallel BC$ και $A^{\prime}C^{\prime}\parallel AC$ και $A^{\prime}B^{\prime}\parallel AB,$ γνωστό ως Αντιδιάμεσο τρίγωνο ( = Antimedial triangle ) του $\bigtriangleup ABC$ ( αντί της ονομασίας Αντισυμπληρωματικό τρίγωνο που αναφέρεται στην εκφώνηση ).

Υιοθετώ εδώ τις ονομασίες που είναι αποδεκτές στην διεθνή βιβλιογραφία, σύμφωνα με την οποία ισχύουν τα εξής :

(a) - Εάν $\bigtriangleup ABC$ είναι δοσμένο τρίγωνο και

τυχαίο σημείο του επιπέδου του, υπάρχει τρίγωνο $\bigtriangleup A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ που έχει το $\bigtriangleup ABC,$ ως Σεβιανό τρίγωνο ( = Cevian triangle ), σχετικό ως προς το σημείο

Το τρίγωνο $\bigtriangleup A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ ονομάζεται Αντισεβιανό τρίγωνο ( = Anticevian triangle ) του $\bigtriangleup ABC$ ως προς το σημείο

.

(b) - Τό Αντιδιάμεσο τρίγωνο τώρα, δοσμένου τριγώνου $\bigtriangleup ABC,$ είναι το Αντισεβιανό τρίγωνο αυτού, ως προς το βαρύκεντρό του

(c) - Διάμεσο τρίγωνο ( = Medial triangle ) δοσμένου τριγώνου $\bigtriangleup ABC,$ ονομάζεται το τρίγωνο που έχει ως κορυφές, τα μέσα των πλευρών του.

(d) - Δύο σημεία $X,\ X^{\prime},$ συμμετρικά ως προς το μέσον πλευράς δοσμένου τριγώνου, ονομάζονται Ισοτομικά σημεία, ως προς την πλευρά αυτή.

(e) - Εάν $\bigtriangleup ABC$ είναι δοσμένο τρίγωνο και $\bigtriangleup DE F$ είναι το Σεβιανό τρίγωνο ( = Cevian triangle ) αυτού, ως προς τυχαίο σημείο

του επιπέδου του ( δηλαδή το τρίγωνο που έχει ως κορυφές τα σημεία $D\equiv BC\cap AP$ και $E\equiv AC\cap BP$ και $F\equiv AB\cap CP$ ), αποδεικνύεται ότι οι ευθείες $AD^{\prime},\ BE^{\prime},\ CF^{\prime},$ όπου $D^{\prime},\ E^{\prime},\ F^{\prime}$ είναι αντιστοίχως, τα Ισοτομικά σημεία των $D,\ E,\ F,$ ως προς τις πλευρές $BC,\ AC,\ AB,$ τέμνονται στο ίδιο σημείο έστω $P^{\prime}.$

Τα $P,\ P^{\prime},$ ονομάζονται Ισοτομικά σημεία ( = Isotomic points ) ως προς το δοσμένο τρίγωνο $\bigtriangleup ABC.$

$\bullet$ Επιστρέφοντας τώρα στο πρόβλημα, υποθέτουμε ότι BC > AC > AB

και έστω $X,\ Z,$ τα σημεία επί των $AB,\ BC$ αντιστοίχως, ώστε να είναι $XZ\parallel AC$ και XZ = AB.

Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα 1, έχουμε ότι η ευθεία $XA^{\prime},$ όπου $A^{\prime}$ είναι το συμμετρικό σημείο του

ως προς το μέσον της πλευράς BC,

είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων

για τα οποία ισχύει $DD^{\prime} = EE^{\prime}$ ,(1)

όπου $DD^{\prime},\ EE^{\prime}$ είναι ευθύγραμμα τμήματα που περνάνε από το

είναι παράλληλα προς τις πλευρές $AB,\ AC$ αντιστοίχως και έχουν τα άκρα τους επί των πλευρών του δοσμένου τριγώνου $\bigtriangleup ABC.$

Ομοίως, εάν $T,\ Y$ είναι τα σημεία επί των $AB,\ AC$ αντιστοίχως, ώστε να είναι $TY\parallel BC$ και TY = AB,

έχουμε ότι η ευθεία $TB^{\prime},$ όπου $B^{\prime}$ είναι το συμμετρικό σημείο του

ως προς το μέσον της πλευράς AC,

είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων $P^{\prime},$ για τα οποία ισχύει $DD^{\prime} = FF^{\prime}$ ,(2)

όπου $DD^{\prime},\ FF^{\prime}$ είναι ευθύγραμμα τμήματα που περνάνε από το $P^{\prime},$ είναι παράλληλα προς τις πλευρές $AB,\ BC$ αντιστοίχως και έχουν τα άκρα τους επί των πλευρών του $\bigtriangleup ABC.$

Το σημείο επομένως $K\equiv XA^{\prime}\cap TB^{\prime},$ ως το σημείο τομής δύο γεωμετρικών τόπων, έχει την ιδιότητα όπως ορίζεται στην εκφώνηση, καθώς από $(1),\ (2),$ έχουμε ότι $DD^{\prime} = EE^{\prime} = FF^{\prime}$ ,(3)

$\bullet$ Έστω $\bigtriangleup A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime},$ το Αντιδιάμεσο τρίγωνο του $\bigtriangleup ABC,$ όπως το ορίσαμε παραπάνω και έστω $R^{\prime},\ S^{\prime},$ τα ίχνη των διχοτόμων των γωνιών $\angle A^{\prime},\ \angle B^{\prime}$ αντιστοίχως, επί των $B^{\prime}C^{\prime},\ A^{\prime}C^{\prime}.$

Αποδεικνύεται σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα 2, ότι το $R\equiv B^{\prime}C^{\prime}\cap A^{\prime}X,$ είναι το ισοτομικό σημείο του $R^{\prime},$ ως προς την πλευρά $B^{\prime}C^{\prime}$ του $\bigtriangleup A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$

$AR = AR^{\prime}$

και ομοίως έχουμε ότι το $S\equiv A^{\prime}C^{\prime}\cap B^{\prime}T,$ είναι το ισοτομικό σημείο του $S^{\prime},$ ως προς την πλευρά $A^{\prime}C^{\prime}$

$BS = BS^{\prime}$

Άρα, τα σημεία $K\equiv A^{\prime}R\cap B^{\prime}S,$ και $I^{\prime}\equiv A^{\prime}R^{\prime}\cap B^{\prime}S^{\prime},$ ( έγκεντρο του $\bigtriangleup A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ ), είναι ισοτομικά σημεία ως προς το τρίγωνο $\bigtriangleup A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ ( = Αντιδιάμεσο τρίγωνο του $\bigtriangleup ABC$ ), και η πρόταση έχει αποδειχθεί.

ΛΗΜΜΑ 1. - Δίνεται τρίγωνο $\bigtriangleup ABC$ με και έστω τυχαίο σημείο στο εσωτερικό του. Διά του φέρνουμε την παράλληλη ευθεία προς την πλευρά οποία τέμνει τις $BC,\ AC,$ στα σημεία έστω $D,\ E,$ αντιστοίχως. Ομοίως, η ευθεία δια του και παράλληλη προς την τέμνει τις $BC,\ AB,$ τα σημεία $F,\ Z,$ αντιστοίχως. Εάν είναι ζητείται να ευρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου

ΛΗΜΜΑ 2. - Δίνεται τρίγωνο $\bigtriangleup ABC$ με και έστω $L,\ M,\ N$ αντιστοίχως, τα μέσα των πλευρών του $BC,\ AC,\ AB.$ Επί των $LM,\ MN,$ λαμβάνουμε αντιστοίχως τα σημεία $E,\ F,$ έτσι ώστε να είναι $EF\parallel LN$ και Αποδείξτε ότι $LD = LD^{\prime},$ όπου $D^{\prime}\equiv BC\cap AE$ και είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας $\angle A$ επί της πλευράς

Κώστας Βήττας.

#3

vittasko έγραψε:ΛΗΜΜΑ 1. - Δίνεται τρίγωνο $\bigtriangleup ABC$ με και έστω τυχαίο σημείο στο εσωτερικό του. Διά του φέρνουμε την παράλληλη ευθεία προς την πλευρά οποία τέμνει τις $BC,\ AC,$ στα σημεία έστω $D,\ E,$ αντιστοίχως. Ομοίως, η ευθεία δια του και παράλληλη προς την τέμνει τις $BC,\ AB,$ τα σημεία $F,\ Z,$ αντιστοίχως. Εάν είναι ζητείται να ευρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου

$\bullet$ Εύρεση του γεωμετρικού τόπου.

Έστω $D,\ E,$ τυχαία σημεία επί των πλευρών $BC,\ AC$ αντιστοίχως, τέτοια ώστε να είναι $DE\parallel AB.$

Από το

φέρνουμε την παράλληλη ευθεία προς την

και επί αυτής ορίζουμε το σημείο

έτσι ώστε να είναι DX = DE

και έστω

το σημείο τομής της

από την παράλληλη ευθεία προς την BC,

δια του σημείου

Τέλος, φέρνουμε δια του σημείου

την παράλληλη ευθεία προς την AC,

η οποία τέμνει την

στο σημείο έστω

και έστω το σημείο $P\equiv DE\cap ZF.$

Το σημείο

ανήκει στον ζητούμενο γεωμετρικό τόπο, γιατί έχουμε $DE\parallel AB$ και $FZ\parallel AC$ και DE = DX = FZ = x.

Με τον ίδιο τρόπο ορίζουμε τα σημεία $P^{\prime}\equiv D^{\prime}E^{\prime}\cap F^{\prime}Z^{\prime}$ και $P^{\prime}^{\prime}\equiv D^{\prime}^{\prime}E^{\prime}^{\prime}\cap F^{\prime}^{\prime}Z^{\prime}^{\prime},$ όπου $D^{\prime}E^{\prime}\parallel D^{\prime}^{\prime}E^{\prime}^{\prime}\parallel AB$ και $F^{\prime}Z^{\prime}\parallel F^{\prime}^{\prime}Z^{\prime}^{\prime}\parallel AB$ και $D^{\prime}E^{\prime} = F^{\prime}Z^{\prime} = u$ και $D^{\prime}^{\prime}E^{\prime}^{\prime} = F^{\prime}^{\prime}Z^{\prime}^{\prime} = w.$

Από $DE\parallel D^{\prime}E^{\prime}\parallel D^{\prime}^{\prime}E^{\prime}^{\prime}$ $\Longrightarrow$ $\displaystyle \frac{DD^{\prime}}{D^{\prime}D^{\prime}^{\prime}} = \frac{u - x}{w - u}$ ,(1)

Από $FZ\parallel F^{\prime}Z^{\prime}\parallel F^{\prime}^{\prime}Z^{\prime}^{\prime}$ $\Longrightarrow$ $\displaystyle \frac{FF^{\prime}}{F^{\prime}F^{\prime}^{\prime}} = \frac{u - x}{w - u}$ ,(2)

Από $(1),\ (2)$ $\Longrightarrow$ $\displaystyle \frac{DD^{\prime}}{D^{\prime}D^{\prime}^{\prime}} = \frac{FF^{\prime}}{F^{\prime}F^{\prime}^{\prime}}$ ,(3)

Από

συμπεραίνουμε ότι τα σημεία $P\equiv DE\cap FZ,\ P^{\prime}\equiv D^{\prime}E^{\prime}\cap F^{\prime}Z^{\prime},\ P^{\prime}^{\prime}\equiv D^{\prime}^{\prime}E^{\prime}^{\prime}\cap F^{\prime}^{\prime}Z^{\prime}^{\prime}$ είναι συνευθειακά, ως τα σημεία τομής των ομολόγων ευθειών δύο δεσμών παράλληλων ευθειών με ίσους λόγους.

Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι μία ευθεία και θα αναζητήσουμε σταθερά σημεία του σχήματος που ανήκουν σ' αυτήν.

$\bullet$ Σταθερά σημεία του γεωμετρικού τόπου.

Έστω το σημείο $T\equiv AB\cap PP^{\prime}P^{\prime}^{\prime}$ και

ο σημείο επί της πλευράς

του $\bigtriangleup ABC,$ ώστε να είναι $TY\parallel AC$ ,(4)

( έχει υποτεθεί ότι BC > AC > AB

).

Επειδή το

είναι σημείο του γεωμετρικού τόπου, έχουμε ότι TY = AB

και άρα είναι σταθερό σημείο επί της πλευράς

( δηλαδή είναι το μοναδικό σημείο επί της AB,

για το οποίο ισχύουν οι $(4),\ (5)$ και κατασκευάζεται εύκολα.

Εάν $R,\ S$ είναι αντιστοίχως, τα μέσα των $BY,\ BT,$ έχουμε ότι $\displaystyle RS = \frac{TY}{2} = \frac{AB}{2} = LM$ και άρα το σημείο $X\equiv LM\cap RS,$ ανήκει στον γεωμετρικό τόπο που συζητάμε.

Επειδή τώρα τα σημεία $N,\ S,$ είναι τα μέσα των $AB,\ TB,$ έχουμε ότι AT = 2NS

και άρα

Από

και $AT\parallel LX,$ σύμφωνα με το θεώρημα Θαλή, συμπεραίνεται ότι $AA^{\prime} = 2LA^{\prime},$ όπου $A^{\prime}\equiv AL\cap TX$ και άρα, η ευθεία TX,

περνάει από το $A^{\prime},$ συμμετρικό σημείο του

ως προς το μέσον

της πλευράς BC.

Το τελικό συμπέρασμα είναι ότι η ευθεία $TA^{\prime},$ είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων

για τα οποία ισχύει DE = FZ,

όπου $DE,\ FZ$ είναι ευθύγραμμα τμήματα που περνάνε από το

παράλληλα προς τις πλευρές $AB,\ AC$ αντιστοίχως, έχουν τα άκρα τους επί των πλευρών του δοσμένου τριγώνου $\bigtriangleup ABC$ και το ζητούμενο έχει βρεθεί.

Κώστας Βήττας.

#4

vittasko έγραψε:ΛΗΜΜΑ 2. - Δίνεται τρίγωνο $\bigtriangleup ABC$ με και έστω $L,\ M,\ N$ αντιστοίχως, τα μέσα των πλευρών του $BC,\ AC,\ AB.$ Επί των $LM,\ MN,$ λαμβάνουμε αντιστοίχως τα σημεία $E,\ F,$ έτσι ώστε να είναι $EF\parallel LN$ και Αποδείξτε ότι $LD = LD^{\prime},$ όπου $D^{\prime}\equiv BC\cap AE$ και είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας $\angle A$ επί της πλευράς

Απόδειξη του Λήμματος 2.

Επειδή ως γνωστό ( θεώρημα Διχοτόμου ) ισχύει ότι $\displaystyle \frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC},$ για να είναι το σημείο $D^{\prime}\equiv BC\cap AE$ το ισοτομικό του

ως προς την πλευρά

του $\bigtriangleup ABC$

$LD = LD^{\prime}$

αρκεί να αποδειχθεί ότι αληθεύει η ισότητα $\displaystyle \frac{D^{\prime}C}{D^{\prime}B} = \frac{AB}{AC}$ ,(1)

$\bullet$ Στο τρίγωνο $\bigtriangleup LCM$ και για διατέμνουσα την ευθεία $AED^{\prime},$ έχουμε ( θεώρημα Μενελάου ) ότι $\displaystyle \frac{D^{\prime}C}{D^{\prime}L}\cdot \frac{EL}{EM}\cdot \frac{AM}{AC} = 1$ $\Longrightarrow$ $D^{\prime}C = \displaystyle \frac{EM}{EL}\cdot \frac{AC}{AM}\cdot D^{\prime}L$ ,(2)

Από $EL\parallel AB$ $\Longrightarrow$ $\displaystyle \frac{EL}{AB} = \frac{D^{\prime}L}{D^{\prime}B}$ $\Longrightarrow$ $\displaystyle \frac{1}{D^{\prime}B} = \frac{EL}{AB}\cdot \frac{1}{D^{\prime}L}$ ,(3)

Από $(2),\ (3)$ $\Longrightarrow$ $\displaystyle \frac{D^{\prime}C}{D^{\prime}B} = \frac{AC}{AB}\cdot \frac{EM}{AM}$ ,(4)

Από $(1),\ (4),$ αρκεί να αποδειχθεί ότι ισχύει $\displaystyle \frac{(AB)^{2}}{(AC)^{2}} = \frac{EM}{AM}$ ,(5)

Από

$\Longrightarrow$ $\displaystyle \frac{4(AN)^{2}}{4(AM)^{2}} = \frac{EM}{AM}$ $\Longrightarrow$ $(AN)^{2} = (EM)\cdot (AM)$ ,(6)

Η

όμως αληθεύει από $EZ\parallel LN$ και EZ = LM

, από όπου έχουμε $\displaystyle \frac{EZ}{LN} = \frac{EM}{LM}$ $\Longrightarrow$ $(LM)^{2} = (EM)\cdot (LN)$ $\Longrightarrow$ (6),

γιατί

και

Άρα αληθεύει η (1)

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

#5

Κώστα,
σε ευχαριστώ πολύ για το ενδιαφέρον σου και την απόδειξή σου της Πρότασής μου 10ι(125).
Θέλω ακόμη να σε συγχαρώ γιατί η απόδειξη της Πρότασης αυτής είναι αρκετά δύσκολη, όπως θα διαπίστωσες και εσύ, και να εξάρω πάλι τις μεγάλες σου δυνατότητες (Σου είχα γράψει παλιά σε επιστολή μου πριν να βγεις στη σύνταξη, ότι : «Δεν έχεις έλλειψη δυνατοτήτων, αλλά έχεις έλλειψη χρόνου». Τώρα έχεις και τον χρόνο).
Κώστα, η απόδειξή σου σε γενικές γραμμές ακολουθεί τον ίδιο δρόμο με τη δική μου. Διαφέρει μόνο σε επιμέρους αποδείξεις και σε λεπτομέρειες.
Αγαπητοί φίλοι, με το παρακάτω συνημμένο μου 24 (συμπληρωμένο), επιτρέψτε μου να δώσω και τη δική μου απόδειξη, ώστε να υπάρχει και μια άλλη αντιμετώπιση της ίδιας απόδειξης.

Με αγάπη και εκτίμηση,
Νίκος Κυριαζής.

Υ.Γ. (α). Η Πρόταση 10ι(125) αποτελεί μια παραλλαγή της Κατασκευής 7ι(187), η οποία έχει δημοσιευθεί εδώ στη διεύθυνση viewtopic.php?f=50&t=4477 και περιέχεται στο βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας» (τόμος 7).
(β). Στην κατασκευή 7ι(187), αναφέρονται και τρία ακόμη τέτοια σημεία που έχουν την ιδιότητα της Πρότασης 10ι(125). Αυτά προφανώς είναι τα τρία ισοτομικά σημεία των τριών παράκεντρων του αντισυμπληρωματικού τριγώνου, του τριγώνου αναφοράς.
(γ). Οι ονομασίες «συμπληρωματικό ή διάμεσο και αντισυμπληρωματικό» αναφέρονται στους Ιησουίτες παράγραφοi 432, 434α (σελίδες 232, 233 και 1202), αλλά και στην Ελληνική Βιβλιογραφία.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ- ΕΝΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΥ.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ- ΕΝΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ- ΕΝΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ- ΕΝΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ- ΕΝΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ- ΕΝΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΥ.

Μέλη σε σύνδεση