Συνευθειακά σημεία

#1

Να δειχθεί ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ το έγκεντρο Ι, το βαρύκεντρο Κ και το σημείο του Nagel (Ν) είναι σημεία συνευθειακά

(ας σημειωθεί ότι το σημείο Nagel είναι το κοινό σημείο των ευθειών που συνδέουν τις κορυφές του τριγώνου με τα σημεία

επαφής των παρεγγεγραμμένων κύκλων (που αντιστοιχούν σε αυτές) με την απέναντι πλευρά) όπως φαίνεται στο σχήμα

#2

Έστω $D,\ E,$ τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου (I)

του δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC,$ στις πλευρές $BC,\ AC$ αντιστοίχως και έστω $D',\ E',$ τα σημεία επαφής στις ίδιες πλευρές, των παρεγγεγραμμένων κύκλων $(I_{a}),\ (I_{b}),$ αντιστοίχως ( οι κύκλοι αυτοί δεν εμφανίζονται στο σχήμα ).

Είναι γνωστό ότι τα μέσα $M,\ N$ των $BC,\ AC$ αντιστοίχως, είναι και μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων $DD',\ EE'$ .

Έστω D'',

το αντιδιαμετρικό σημείο του

στον κύκλο (I)

και από

και

, σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, έχουμε ότι $IM\parallel D'D''\equiv AD'\ \ ,(1)$ και έστω το σημείο $N_{a}\equiv IG\cap AD',$ όπου $G\equiv AM\cap BN$ είναι το βαρύκεντρο του $\vartriangle ABC.$

Από (1),

σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, συμπεραίνεται ότι $\displaystyle\frac{N_{a}G}{GI} = \frac{AG}{GM} = 2\ \ \ (2)$

Δηλαδή, η ευθεία AD'

περνάει από το σταθερό σημείο $N_{a}.$

Ομοίως αποδεικνύεται ότι και η ευθεία BE'

περνάει από το $N_{a}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ(1). Έχει θεωρηθεί ως γνωστό, το ότι η ευθεία AD'

περνάει από το D'',

ως το αντιδιαμετρικό σημείο του

στον κύκλο (I)

, το οποίο νομίζω το έχουμε ξανασυζητήσει στο

και θα ψάξω να το βρω.

ΥΓ(2). Τελικά είναι πιο εύκολο να γράψεις την απόδειξη, παρά να ψάξεις να τη βρεις. Πράγματι, αν

είναι το σημείο επαφής του παρεγγεγραμμένου κυκλου στην ευθεία AC,

από $IE\parallel I_{a}Z$ $\Longrightarrow$ $\displaystyle\frac{IE}{I_{a}Z} = \frac{AI}{AI_{a}} = \frac{ID''}{I_{a}D'}\ \ \ ,(3)$ ( αφήνεται στον αναγνώστη να συμπληρώσει το σχήμα ).

Από (3)

και $ID''\parallel I_{a}D'$ , συμπεραίνεται ότι τα σημεία $A,\ D'',\ D'$ είναι συνευθειακά.

#3

Κώστα είσαι υπέροχος !!!

Ευχαριστώ

Στάθης Κούτρας

Συνευθειακά σημεία

Συνευθειακά σημεία

Re: Συνευθειακά σημεία

Re: Συνευθειακά σημεία

Μέλη σε σύνδεση